Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10302 / 2402
↖ ↑ ↗
← N 77.608282°
E 46.362305°		 ← 524.30 m → N 77.608282°
E 46.384277°		 →
↑
524.40 m
↓
↑
524.40 m
↓
N 77.603566°
E 46.362305°		 ← 524.50 m →
274 993 m²		 N 77.603566°
E 46.384277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628814697265625 y=0.146636962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628814697265625 × 214)
    floor (0.628814697265625 × 16384)
    floor (10302.5)     		tx = 10302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146636962890625 × 214)
    floor (0.146636962890625 × 16384)
    floor (2402.5)     		ty = 2402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10302 / 2402 ti = "14/10302/2402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10302/2402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10302 ÷ 214
    10302 ÷ 16384     		x = 0.6287841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2402 ÷ 214
    2402 ÷ 16384     		y = 0.1466064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6287841796875 × 2 - 1) × π
    0.257568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80917487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1466064453125 × 2 - 1) × π
    0.706787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.220437190401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80917487} λ = 0.80917487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.220437190401))-π/2
    2×atan(9.21135710260755)-π/2
    2×1.4626581887971-π/2
    2.9253163775942-1.57079632675     		φ = 1.35452005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80917487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.362305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35452005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.608282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10302 KachelY 2402 0.80917487 1.35452005 46.362305 77.608282
    Oben rechts KachelX + 1 10303 KachelY 2402 0.80955836 1.35452005 46.384277 77.608282
    Unten links KachelX 10302 KachelY + 1 2403 0.80917487 1.35443774 46.362305 77.603566
    Unten rechts KachelX + 1 10303 KachelY + 1 2403 0.80955836 1.35443774 46.384277 77.603566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35452005-1.35443774) × R
    8.23100000000299e-05 × 6371000     		dl = 524.39701000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35452005-1.35443774) × R
    8.23100000000299e-05 × 6371000     		dr = 524.39701000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80917487-0.80955836) × cos(1.35452005) × R
    0.000383490000000042 × 0.214594146504445 × 6371000     		do = 524.299592587145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80917487-0.80955836) × cos(1.35443774) × R
    0.000383490000000042 × 0.214674538226723 × 6371000     		du = 524.496006832008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35452005)-sin(1.35443774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214594146504445-0.214674538226723)×R²
    abs(0.80955836-0.80917487)×8.03917222779449e-05×R²
    0.000383490000000042×8.03917222779449e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.03917222779449e-05×40589641000000     		ar = 274992.638373073m²