Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103017 / 99406
↖ ↑ ↗
← S 67.690686°
E102.944641°		 ← 115.94 m → S 67.690686°
E102.947388°		 →
↑
115.95 m
↓
↑
115.95 m
↓
S 67.691729°
E102.944641°		 ← 115.94 m →
13 443 m²		 S 67.691729°
E102.947388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785961151123047 y=0.758411407470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785961151123047 × 217)
    floor (0.785961151123047 × 131072)
    floor (103017.5)     		tx = 103017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758411407470703 × 217)
    floor (0.758411407470703 × 131072)
    floor (99406.5)     		ty = 99406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103017 / 99406 ti = "17/103017/99406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103017/99406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103017 ÷ 217
    103017 ÷ 131072     		x = 0.785957336425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99406 ÷ 217
    99406 ÷ 131072     		y = 0.758407592773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785957336425781 × 2 - 1) × π
    0.571914672851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.79672293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758407592773438 × 2 - 1) × π
    -0.516815185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6236227901313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79672293} λ = 1.79672293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6236227901313))-π/2
    2×atan(0.197183050734183)-π/2
    2×0.194685493317693-π/2
    0.389370986635386-1.57079632675     		φ = -1.18142534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79672293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.944641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18142534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.690686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103017 KachelY 99406 1.79672293 -1.18142534 102.944641 -67.690686
    Oben rechts KachelX + 1 103018 KachelY 99406 1.79677087 -1.18142534 102.947388 -67.690686
    Unten links KachelX 103017 KachelY + 1 99407 1.79672293 -1.18144354 102.944641 -67.691729
    Unten rechts KachelX + 1 103018 KachelY + 1 99407 1.79677087 -1.18144354 102.947388 -67.691729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18142534--1.18144354) × R
    1.81999999999682e-05 × 6371000     		dl = 115.952199999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18142534--1.18144354) × R
    1.81999999999682e-05 × 6371000     		dr = 115.952199999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79672293-1.79677087) × cos(-1.18142534) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379606559937138 × 6371000     		do = 115.941614477579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79672293-1.79677087) × cos(-1.18144354) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379589722180297 × 6371000     		du = 115.936471793236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18142534)-sin(-1.18144354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379606559937138-0.379589722180297)×R²
    abs(1.79677087-1.79672293)×1.68377568407485e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68377568407485e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68377568407485e-05×40589641000000     		ar = 13443.3871176481m²