Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103015 / 99413
↖ ↑ ↗
← S 67.697983°
E102.939148°		 ← 115.91 m → S 67.697983°
E102.941895°		 →
↑
115.89 m
↓
↑
115.89 m
↓
S 67.699025°
E102.939148°		 ← 115.90 m →
13 432 m²		 S 67.699025°
E102.941895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785945892333984 y=0.758464813232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785945892333984 × 217)
    floor (0.785945892333984 × 131072)
    floor (103015.5)     		tx = 103015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758464813232422 × 217)
    floor (0.758464813232422 × 131072)
    floor (99413.5)     		ty = 99413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103015 / 99413 ti = "17/103015/99413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103015/99413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103015 ÷ 217
    103015 ÷ 131072     		x = 0.785942077636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99413 ÷ 217
    99413 ÷ 131072     		y = 0.758460998535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785942077636719 × 2 - 1) × π
    0.571884155273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.79662706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758460998535156 × 2 - 1) × π
    -0.516921997070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.62395834842864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79662706} λ = 1.79662706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62395834842864))-π/2
    2×atan(0.197116895425516)-π/2
    2×0.194621813137418-π/2
    0.389243626274836-1.57079632675     		φ = -1.18155270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79662706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.939148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18155270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.697983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103015 KachelY 99413 1.79662706 -1.18155270 102.939148 -67.697983
    Oben rechts KachelX + 1 103016 KachelY 99413 1.79667500 -1.18155270 102.941895 -67.697983
    Unten links KachelX 103015 KachelY + 1 99414 1.79662706 -1.18157089 102.939148 -67.699025
    Unten rechts KachelX + 1 103016 KachelY + 1 99414 1.79667500 -1.18157089 102.941895 -67.699025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18155270--1.18157089) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dl = 115.888490000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18155270--1.18157089) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dr = 115.888490000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79662706-1.79667500) × cos(-1.18155270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379488730006861 × 6371000     		do = 115.90562618393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79662706-1.79667500) × cos(-1.18157089) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379471900622299 × 6371000     		du = 115.900486056696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18155270)-sin(-1.18157089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379488730006861-0.379471900622299)×R²
    abs(1.79667500-1.79662706)×1.68293845618783e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68293845618783e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68293845618783e-05×40589641000000     		ar = 13431.830160654m²