Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103013 / 99414
↖ ↑ ↗
← S 67.699025°
E102.933655°		 ← 115.88 m → S 67.699025°
E102.936401°		 →
↑
115.89 m
↓
↑
115.89 m
↓
S 67.700067°
E102.933655°		 ← 115.87 m →
13 428 m²		 S 67.700067°
E102.936401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785930633544922 y=0.758472442626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785930633544922 × 217)
    floor (0.785930633544922 × 131072)
    floor (103013.5)     		tx = 103013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758472442626953 × 217)
    floor (0.758472442626953 × 131072)
    floor (99414.5)     		ty = 99414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103013 / 99414 ti = "17/103013/99414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103013/99414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103013 ÷ 217
    103013 ÷ 131072     		x = 0.785926818847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99414 ÷ 217
    99414 ÷ 131072     		y = 0.758468627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785926818847656 × 2 - 1) × π
    0.571853637695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.79653119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758468627929688 × 2 - 1) × π
    -0.516937255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62400628532826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79653119} λ = 1.79653119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62400628532826))-π/2
    2×atan(0.197107446479165)-π/2
    2×0.194612717582552-π/2
    0.389225435165103-1.57079632675     		φ = -1.18157089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79653119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.933655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18157089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.699025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103013 KachelY 99414 1.79653119 -1.18157089 102.933655 -67.699025
    Oben rechts KachelX + 1 103014 KachelY 99414 1.79657912 -1.18157089 102.936401 -67.699025
    Unten links KachelX 103013 KachelY + 1 99415 1.79653119 -1.18158908 102.933655 -67.700067
    Unten rechts KachelX + 1 103014 KachelY + 1 99415 1.79657912 -1.18158908 102.936401 -67.700067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18157089--1.18158908) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dl = 115.888490000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18157089--1.18158908) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dr = 115.888490000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79653119-1.79657912) × cos(-1.18157089) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379471900622299 × 6371000     		do = 115.876309902054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79653119-1.79657912) × cos(-1.18158908) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379455071112179 × 6371000     		du = 115.87117080868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18157089)-sin(-1.18158908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379471900622299-0.379455071112179)×R²
    abs(1.79657912-1.79653119)×1.68295101201088e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68295101201088e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68295101201088e-05×40589641000000     		ar = 13428.4328006437m²