Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10301 / 6085
↖ ↑ ↗
← N 81.143253°
W123.414917°		 ← 94.05 m → N 81.143253°
W123.409424°		 →
↑
94.04 m
↓
↑
94.04 m
↓
N 81.142407°
W123.414917°		 ← 94.06 m →
8 844 m²		 N 81.142407°
W123.409424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157188415527344 y=0.0928573608398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157188415527344 × 216)
    floor (0.157188415527344 × 65536)
    floor (10301.5)     		tx = 10301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0928573608398438 × 216)
    floor (0.0928573608398438 × 65536)
    floor (6085.5)     		ty = 6085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10301 / 6085 ti = "16/10301/6085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10301/6085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10301 ÷ 216
    10301 ÷ 65536     		x = 0.157180786132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6085 ÷ 216
    6085 ÷ 65536     		y = 0.0928497314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157180786132812 × 2 - 1) × π
    -0.685638427734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15399665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0928497314453125 × 2 - 1) × π
    0.814300537109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.55820058512392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15399665} λ = -2.15399665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55820058512392))-π/2
    2×atan(12.9125613432774)-π/2
    2×1.4935066282205-π/2
    2.987013256441-1.57079632675     		φ = 1.41621693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15399665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.414917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41621693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.143253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10301 KachelY 6085 -2.15399665 1.41621693 -123.414917 81.143253
    Oben rechts KachelX + 1 10302 KachelY 6085 -2.15390077 1.41621693 -123.409424 81.143253
    Unten links KachelX 10301 KachelY + 1 6086 -2.15399665 1.41620217 -123.414917 81.142407
    Unten rechts KachelX + 1 10302 KachelY + 1 6086 -2.15390077 1.41620217 -123.409424 81.142407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41621693-1.41620217) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dl = 94.0359600000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41621693-1.41620217) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dr = 94.0359600000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15399665--2.15390077) × cos(1.41621693) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.153964524831409 × 6371000     		do = 94.0494578607013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15399665--2.15390077) × cos(1.41620217) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.153979108821949 × 6371000     		du = 94.058366512907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41621693)-sin(1.41620217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153964524831409-0.153979108821949)×R²
    abs(-2.15390077--2.15399665)×1.45839905401901e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.45839905401901e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.45839905401901e-05×40589641000000     		ar = 8844.44992446636m²