Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103006 / 99431
↖ ↑ ↗
← S 67.716737°
E102.914429°		 ← 115.81 m → S 67.716737°
E102.917176°		 →
↑
115.76 m
↓
↑
115.76 m
↓
S 67.717778°
E102.914429°		 ← 115.81 m →
13 406 m²		 S 67.717778°
E102.917176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785877227783203 y=0.758602142333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785877227783203 × 217)
    floor (0.785877227783203 × 131072)
    floor (103006.5)     		tx = 103006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758602142333984 × 217)
    floor (0.758602142333984 × 131072)
    floor (99431.5)     		ty = 99431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103006 / 99431 ti = "17/103006/99431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103006/99431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103006 ÷ 217
    103006 ÷ 131072     		x = 0.785873413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99431 ÷ 217
    99431 ÷ 131072     		y = 0.758598327636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785873413085938 × 2 - 1) × π
    0.571746826171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79619563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758598327636719 × 2 - 1) × π
    -0.517196655273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.6248212126218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79619563} λ = 1.79619563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6248212126218))-π/2
    2×atan(0.196946883673661)-π/2
    2×0.194458154856568-π/2
    0.388916309713136-1.57079632675     		φ = -1.18188002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79619563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.914429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18188002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.716737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103006 KachelY 99431 1.79619563 -1.18188002 102.914429 -67.716737
    Oben rechts KachelX + 1 103007 KachelY 99431 1.79624357 -1.18188002 102.917176 -67.716737
    Unten links KachelX 103006 KachelY + 1 99432 1.79619563 -1.18189819 102.914429 -67.717778
    Unten rechts KachelX + 1 103007 KachelY + 1 99432 1.79624357 -1.18189819 102.917176 -67.717778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18188002--1.18189819) × R
    1.81700000001506e-05 × 6371000     		dl = 115.761070000959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18188002--1.18189819) × R
    1.81700000001506e-05 × 6371000     		dr = 115.761070000959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79619563-1.79624357) × cos(-1.18188002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379185874410943 × 6371000     		do = 115.813126289434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79619563-1.79624357) × cos(-1.18189819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379169061274424 × 6371000     		du = 115.80799112477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18188002)-sin(-1.18189819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379185874410943-0.379169061274424)×R²
    abs(1.79624357-1.79619563)×1.68131365191893e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68131365191893e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68131365191893e-05×40589641000000     		ar = 13406.3541937094m²