Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10300 / 2481
↖ ↑ ↗
← N 77.230218°
E 46.318360°		 ← 540.03 m → N 77.230218°
E 46.340332°		 →
↑
540.13 m
↓
↑
540.13 m
↓
N 77.225360°
E 46.318360°		 ← 540.24 m →
291 745 m²		 N 77.225360°
E 46.340332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628692626953125 y=0.151458740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628692626953125 × 214)
    floor (0.628692626953125 × 16384)
    floor (10300.5)     		tx = 10300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151458740234375 × 214)
    floor (0.151458740234375 × 16384)
    floor (2481.5)     		ty = 2481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10300 / 2481 ti = "14/10300/2481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10300/2481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10300 ÷ 214
    10300 ÷ 16384     		x = 0.628662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2481 ÷ 214
    2481 ÷ 16384     		y = 0.15142822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628662109375 × 2 - 1) × π
    0.25732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.80840788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15142822265625 × 2 - 1) × π
    0.6971435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19014106984113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80840788} λ = 0.80840788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19014106984113))-π/2
    2×atan(8.93647369270594)-π/2
    2×1.45935895519309-π/2
    2.91871791038619-1.57079632675     		φ = 1.34792158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80840788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.318360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34792158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.230218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10300 KachelY 2481 0.80840788 1.34792158 46.318360 77.230218
    Oben rechts KachelX + 1 10301 KachelY 2481 0.80879137 1.34792158 46.340332 77.230218
    Unten links KachelX 10300 KachelY + 1 2482 0.80840788 1.34783680 46.318360 77.225360
    Unten rechts KachelX + 1 10301 KachelY + 1 2482 0.80879137 1.34783680 46.340332 77.225360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34792158-1.34783680) × R
    8.47799999998955e-05 × 6371000     		dl = 540.133379999334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34792158-1.34783680) × R
    8.47799999998955e-05 × 6371000     		dr = 540.133379999334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80840788-0.80879137) × cos(1.34792158) × R
    0.000383490000000042 × 0.221034175538715 × 6371000     		do = 540.033966771704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80840788-0.80879137) × cos(1.34783680) × R
    0.000383490000000042 × 0.221116857801062 × 6371000     		du = 540.235977297941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34792158)-sin(1.34783680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221034175538715-0.221116857801062)×R²
    abs(0.80879137-0.80840788)×8.26822623468393e-05×R²
    0.000383490000000042×8.26822623468393e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.26822623468393e-05×40589641000000     		ar = 291744.928274509m²