Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102978 / 99419
↖ ↑ ↗
← S 67.704236°
E102.837525°		 ← 115.85 m → S 67.704236°
E102.840271°		 →
↑
115.82 m
↓
↑
115.82 m
↓
S 67.705278°
E102.837525°		 ← 115.85 m →
13 418 m²		 S 67.705278°
E102.840271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785663604736328 y=0.758510589599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785663604736328 × 217)
    floor (0.785663604736328 × 131072)
    floor (102978.5)     		tx = 102978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758510589599609 × 217)
    floor (0.758510589599609 × 131072)
    floor (99419.5)     		ty = 99419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102978 / 99419 ti = "17/102978/99419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102978/99419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102978 ÷ 217
    102978 ÷ 131072     		x = 0.785659790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99419 ÷ 217
    99419 ÷ 131072     		y = 0.758506774902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785659790039062 × 2 - 1) × π
    0.571319580078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.79485340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758506774902344 × 2 - 1) × π
    -0.517013549804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.62424596982636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79485340} λ = 1.79485340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62424596982636))-π/2
    2×atan(0.197060208541111)-π/2
    2×0.194567245858793-π/2
    0.389134491717587-1.57079632675     		φ = -1.18166184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79485340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.837525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18166184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.704236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102978 KachelY 99419 1.79485340 -1.18166184 102.837525 -67.704236
    Oben rechts KachelX + 1 102979 KachelY 99419 1.79490133 -1.18166184 102.840271 -67.704236
    Unten links KachelX 102978 KachelY + 1 99420 1.79485340 -1.18168002 102.837525 -67.705278
    Unten rechts KachelX + 1 102979 KachelY + 1 99420 1.79490133 -1.18168002 102.840271 -67.705278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18166184--1.18168002) × R
    1.81799999998677e-05 × 6371000     		dl = 115.824779999157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18166184--1.18168002) × R
    1.81799999998677e-05 × 6371000     		dr = 115.824779999157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79485340-1.79490133) × cos(-1.18166184) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379387751816228 × 6371000     		do = 115.85061405181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79485340-1.79490133) × cos(-1.18168002) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379370930930848 × 6371000     		du = 115.845477592104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18166184)-sin(-1.18168002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379387751816228-0.379370930930848)×R²
    abs(1.79490133-1.79485340)×1.68208853805751e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68208853805751e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68208853805751e-05×40589641000000     		ar = 13418.0744210457m²