Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102974 / 99429
↖ ↑ ↗
← S 67.714654°
E102.826538°		 ← 115.80 m → S 67.714654°
E102.829284°		 →
↑
115.82 m
↓
↑
115.82 m
↓
S 67.715695°
E102.826538°		 ← 115.79 m →
13 412 m²		 S 67.715695°
E102.829284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785633087158203 y=0.758586883544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785633087158203 × 217)
    floor (0.785633087158203 × 131072)
    floor (102974.5)     		tx = 102974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758586883544922 × 217)
    floor (0.758586883544922 × 131072)
    floor (99429.5)     		ty = 99429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102974 / 99429 ti = "17/102974/99429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102974/99429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102974 ÷ 217
    102974 ÷ 131072     		x = 0.785629272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99429 ÷ 217
    99429 ÷ 131072     		y = 0.758583068847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785629272460938 × 2 - 1) × π
    0.571258544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79466165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758583068847656 × 2 - 1) × π
    -0.517166137695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.62472533882256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79466165} λ = 1.79466165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62472533882256))-π/2
    2×atan(0.196965766624823)-π/2
    2×0.194476332658193-π/2
    0.388952665316386-1.57079632675     		φ = -1.18184366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79466165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.826538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18184366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.714654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102974 KachelY 99429 1.79466165 -1.18184366 102.826538 -67.714654
    Oben rechts KachelX + 1 102975 KachelY 99429 1.79470958 -1.18184366 102.829284 -67.714654
    Unten links KachelX 102974 KachelY + 1 99430 1.79466165 -1.18186184 102.826538 -67.715695
    Unten rechts KachelX + 1 102975 KachelY + 1 99430 1.79470958 -1.18186184 102.829284 -67.715695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18184366--1.18186184) × R
    1.81800000000898e-05 × 6371000     		dl = 115.824780000572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18184366--1.18186184) × R
    1.81800000000898e-05 × 6371000     		dr = 115.824780000572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79466165-1.79470958) × cos(-1.18184366) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.379219518814547 × 6371000     		do = 115.799242080368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79466165-1.79470958) × cos(-1.18186184) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.379202696675411 × 6371000     		du = 115.794105237812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18184366)-sin(-1.18186184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379219518814547-0.379202696675411)×R²
    abs(1.79470958-1.79466165)×1.68221391365075e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.68221391365075e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.68221391365075e-05×40589641000000     		ar = 13412.1242516125m²