Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102973 / 99437
↖ ↑ ↗
← S 67.722985°
E102.823791°		 ← 115.78 m → S 67.722985°
E102.826538°		 →
↑
115.82 m
↓
↑
115.82 m
↓
S 67.724026°
E102.823791°		 ← 115.78 m →
13 410 m²		 S 67.724026°
E102.826538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785625457763672 y=0.758647918701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785625457763672 × 217)
    floor (0.785625457763672 × 131072)
    floor (102973.5)     		tx = 102973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758647918701172 × 217)
    floor (0.758647918701172 × 131072)
    floor (99437.5)     		ty = 99437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102973 / 99437 ti = "17/102973/99437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102973/99437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102973 ÷ 217
    102973 ÷ 131072     		x = 0.785621643066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99437 ÷ 217
    99437 ÷ 131072     		y = 0.758644104003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785621643066406 × 2 - 1) × π
    0.571243286132812 × 3.1415926535     		Λ = 1.79461371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758644104003906 × 2 - 1) × π
    -0.517288208007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.62510883401952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79461371} λ = 1.79461371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62510883401952))-π/2
    2×atan(0.196890245681242)-π/2
    2×0.194403631126539-π/2
    0.388807262253079-1.57079632675     		φ = -1.18198906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79461371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.823791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18198906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.722985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102973 KachelY 99437 1.79461371 -1.18198906 102.823791 -67.722985
    Oben rechts KachelX + 1 102974 KachelY 99437 1.79466165 -1.18198906 102.826538 -67.722985
    Unten links KachelX 102973 KachelY + 1 99438 1.79461371 -1.18200724 102.823791 -67.724026
    Unten rechts KachelX + 1 102974 KachelY + 1 99438 1.79466165 -1.18200724 102.826538 -67.724026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18198906--1.18200724) × R
    1.81799999998677e-05 × 6371000     		dl = 115.824779999157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18198906--1.18200724) × R
    1.81799999998677e-05 × 6371000     		dr = 115.824779999157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79461371-1.79466165) × cos(-1.18198906) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.379084975206969 × 6371000     		do = 115.78230907593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79461371-1.79466165) × cos(-1.18200724) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.379068152065614 × 6371000     		du = 115.777170855533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18198906)-sin(-1.18200724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379084975206969-0.379068152065614)×R²
    abs(1.79466165-1.79461371)×1.68231413544828e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.68231413544828e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.68231413544828e-05×40589641000000     		ar = 13410.1629104185m²