Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102971 / 99932
↖ ↑ ↗
← S 68.232749°
E102.818298°		 ← 113.24 m → S 68.232749°
E102.821045°		 →
↑
113.21 m
↓
↑
113.21 m
↓
S 68.233767°
E102.818298°		 ← 113.23 m →
12 820 m²		 S 68.233767°
E102.821045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785610198974609 y=0.762424468994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785610198974609 × 217)
    floor (0.785610198974609 × 131072)
    floor (102971.5)     		tx = 102971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762424468994141 × 217)
    floor (0.762424468994141 × 131072)
    floor (99932.5)     		ty = 99932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102971 / 99932 ti = "17/102971/99932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102971/99932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102971 ÷ 217
    102971 ÷ 131072     		x = 0.785606384277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99932 ÷ 217
    99932 ÷ 131072     		y = 0.762420654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785606384277344 × 2 - 1) × π
    0.571212768554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.79451784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762420654296875 × 2 - 1) × π
    -0.52484130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64883759933145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79451784} λ = 1.79451784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64883759933145))-π/2
    2×atan(0.192273277359764)-π/2
    2×0.189955100110911-π/2
    0.379910200221822-1.57079632675     		φ = -1.19088613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79451784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.818298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19088613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.232749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102971 KachelY 99932 1.79451784 -1.19088613 102.818298 -68.232749
    Oben rechts KachelX + 1 102972 KachelY 99932 1.79456577 -1.19088613 102.821045 -68.232749
    Unten links KachelX 102971 KachelY + 1 99933 1.79451784 -1.19090390 102.818298 -68.233767
    Unten rechts KachelX + 1 102972 KachelY + 1 99933 1.79456577 -1.19090390 102.821045 -68.233767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19088613--1.19090390) × R
    1.7769999999917e-05 × 6371000     		dl = 113.212669999471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19088613--1.19090390) × R
    1.7769999999917e-05 × 6371000     		dr = 113.212669999471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79451784-1.79456577) × cos(-1.19088613) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.370837070856688 × 6371000     		do = 113.239560756121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79451784-1.79456577) × cos(-1.19090390) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.370820567835715 × 6371000     		du = 113.234521360136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19088613)-sin(-1.19090390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370837070856688-0.370820567835715)×R²
    abs(1.79456577-1.79451784)×1.65030209728356e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65030209728356e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65030209728356e-05×40589641000000     		ar = 12819.8677614099m²