Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102970 / 99934
↖ ↑ ↗
← S 68.234786°
E102.815552°		 ← 113.25 m → S 68.234786°
E102.818298°		 →
↑
113.21 m
↓
↑
113.21 m
↓
S 68.235804°
E102.815552°		 ← 113.25 m →
12 821 m²		 S 68.235804°
E102.818298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785602569580078 y=0.762439727783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785602569580078 × 217)
    floor (0.785602569580078 × 131072)
    floor (102970.5)     		tx = 102970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762439727783203 × 217)
    floor (0.762439727783203 × 131072)
    floor (99934.5)     		ty = 99934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102970 / 99934 ti = "17/102970/99934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102970/99934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102970 ÷ 217
    102970 ÷ 131072     		x = 0.785598754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99934 ÷ 217
    99934 ÷ 131072     		y = 0.762435913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785598754882812 × 2 - 1) × π
    0.571197509765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.79446990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762435913085938 × 2 - 1) × π
    -0.524871826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64893347313069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79446990} λ = 1.79446990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64893347313069))-π/2
    2×atan(0.192254844273811)-π/2
    2×0.1899373241227-π/2
    0.379874648245401-1.57079632675     		φ = -1.19092168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79446990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.815552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19092168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.234786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102970 KachelY 99934 1.79446990 -1.19092168 102.815552 -68.234786
    Oben rechts KachelX + 1 102971 KachelY 99934 1.79451784 -1.19092168 102.818298 -68.234786
    Unten links KachelX 102970 KachelY + 1 99935 1.79446990 -1.19093945 102.815552 -68.235804
    Unten rechts KachelX + 1 102971 KachelY + 1 99935 1.79451784 -1.19093945 102.818298 -68.235804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19092168--1.19093945) × R
    1.7769999999917e-05 × 6371000     		dl = 113.212669999471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19092168--1.19093945) × R
    1.7769999999917e-05 × 6371000     		dr = 113.212669999471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79446990-1.79451784) × cos(-1.19092168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370804055410536 × 6371000     		do = 113.25310301869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79446990-1.79451784) × cos(-1.19093945) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370787552155313 × 6371000     		du = 113.248062499751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19092168)-sin(-1.19093945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370804055410536-0.370787552155313)×R²
    abs(1.79451784-1.79446990)×1.65032552236766e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65032552236766e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65032552236766e-05×40589641000000     		ar = 12821.4008534909m²