Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102968 / 99401
↖ ↑ ↗
← S 67.685472°
E102.810059°		 ← 115.94 m → S 67.685472°
E102.812805°		 →
↑
116.02 m
↓
↑
116.02 m
↓
S 67.686515°
E102.810059°		 ← 115.94 m →
13 451 m²		 S 67.686515°
E102.812805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785587310791016 y=0.758373260498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785587310791016 × 217)
    floor (0.785587310791016 × 131072)
    floor (102968.5)     		tx = 102968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758373260498047 × 217)
    floor (0.758373260498047 × 131072)
    floor (99401.5)     		ty = 99401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102968 / 99401 ti = "17/102968/99401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102968/99401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102968 ÷ 217
    102968 ÷ 131072     		x = 0.78558349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99401 ÷ 217
    99401 ÷ 131072     		y = 0.758369445800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78558349609375 × 2 - 1) × π
    0.5711669921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79437403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758369445800781 × 2 - 1) × π
    -0.516738891601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.6233831056332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79437403} λ = 1.79437403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6233831056332))-π/2
    2×atan(0.197230318119135)-π/2
    2×0.194730991265764-π/2
    0.389461982531527-1.57079632675     		φ = -1.18133434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79437403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.810059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18133434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.685472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102968 KachelY 99401 1.79437403 -1.18133434 102.810059 -67.685472
    Oben rechts KachelX + 1 102969 KachelY 99401 1.79442196 -1.18133434 102.812805 -67.685472
    Unten links KachelX 102968 KachelY + 1 99402 1.79437403 -1.18135255 102.810059 -67.686515
    Unten rechts KachelX + 1 102969 KachelY + 1 99402 1.79442196 -1.18135255 102.812805 -67.686515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18133434--1.18135255) × R
    1.82099999999075e-05 × 6371000     		dl = 116.01590999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18133434--1.18135255) × R
    1.82099999999075e-05 × 6371000     		dr = 116.01590999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79437403-1.79442196) × cos(-1.18133434) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379690746835117 × 6371000     		do = 115.943137225858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79437403-1.79442196) × cos(-1.18135255) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379673900455833 × 6371000     		du = 115.937992981282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18133434)-sin(-1.18135255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379690746835117-0.379673900455833)×R²
    abs(1.79442196-1.79437403)×1.68463792843965e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68463792843965e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68463792843965e-05×40589641000000     		ar = 13450.9501667629m²