Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102967 / 99977
↖ ↑ ↗
← S 68.278537°
E102.807312°		 ← 113.04 m → S 68.278537°
E102.810059°		 →
↑
113.02 m
↓
↑
113.02 m
↓
S 68.279553°
E102.807312°		 ← 113.03 m →
12 775 m²		 S 68.279553°
E102.810059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785579681396484 y=0.762767791748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785579681396484 × 217)
    floor (0.785579681396484 × 131072)
    floor (102967.5)     		tx = 102967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762767791748047 × 217)
    floor (0.762767791748047 × 131072)
    floor (99977.5)     		ty = 99977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102967 / 99977 ti = "17/102967/99977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102967/99977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102967 ÷ 217
    102967 ÷ 131072     		x = 0.785575866699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99977 ÷ 217
    99977 ÷ 131072     		y = 0.762763977050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785575866699219 × 2 - 1) × π
    0.571151733398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.79432609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762763977050781 × 2 - 1) × π
    -0.525527954101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.65099475981435
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79432609} λ = 1.79432609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65099475981435))-π/2
    2×atan(0.191858960079022)-π/2
    2×0.189555522992798-π/2
    0.379111045985597-1.57079632675     		φ = -1.19168528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79432609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.807312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19168528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.278537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102967 KachelY 99977 1.79432609 -1.19168528 102.807312 -68.278537
    Oben rechts KachelX + 1 102968 KachelY 99977 1.79437403 -1.19168528 102.810059 -68.278537
    Unten links KachelX 102967 KachelY + 1 99978 1.79432609 -1.19170302 102.807312 -68.279553
    Unten rechts KachelX + 1 102968 KachelY + 1 99978 1.79437403 -1.19170302 102.810059 -68.279553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19168528--1.19170302) × R
    1.77400000000993e-05 × 6371000     		dl = 113.021540000633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19168528--1.19170302) × R
    1.77400000000993e-05 × 6371000     		dr = 113.021540000633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79432609-1.79437403) × cos(-1.19168528) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370094783559771 × 6371000     		do = 113.036473138809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79432609-1.79437403) × cos(-1.19170302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370078303147984 × 6371000     		du = 113.031439596843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19168528)-sin(-1.19170302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370094783559771-0.370078303147984)×R²
    abs(1.79437403-1.79432609)×1.64804117868678e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64804117868678e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64804117868678e-05×40589641000000     		ar = 12775.2718214135m²