Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102966 / 99939
↖ ↑ ↗
← S 68.239877°
E102.804565°		 ← 113.23 m → S 68.239877°
E102.807312°		 →
↑
113.28 m
↓
↑
113.28 m
↓
S 68.240896°
E102.804565°		 ← 113.22 m →
12 826 m²		 S 68.240896°
E102.807312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785572052001953 y=0.762477874755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785572052001953 × 217)
    floor (0.785572052001953 × 131072)
    floor (102966.5)     		tx = 102966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762477874755859 × 217)
    floor (0.762477874755859 × 131072)
    floor (99939.5)     		ty = 99939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102966 / 99939 ti = "17/102966/99939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102966/99939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102966 ÷ 217
    102966 ÷ 131072     		x = 0.785568237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99939 ÷ 217
    99939 ÷ 131072     		y = 0.762474060058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785568237304688 × 2 - 1) × π
    0.571136474609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.79427815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762474060058594 × 2 - 1) × π
    -0.524948120117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.64917315762879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79427815} λ = 1.79427815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64917315762879))-π/2
    2×atan(0.192208769289904)-π/2
    2×0.18989289107617-π/2
    0.379785782152339-1.57079632675     		φ = -1.19101054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79427815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.804565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19101054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.239877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102966 KachelY 99939 1.79427815 -1.19101054 102.804565 -68.239877
    Oben rechts KachelX + 1 102967 KachelY 99939 1.79432609 -1.19101054 102.807312 -68.239877
    Unten links KachelX 102966 KachelY + 1 99940 1.79427815 -1.19102832 102.804565 -68.240896
    Unten rechts KachelX + 1 102967 KachelY + 1 99940 1.79432609 -1.19102832 102.807312 -68.240896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19101054--1.19102832) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dl = 113.276380000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19101054--1.19102832) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dr = 113.276380000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79427815-1.79432609) × cos(-1.19101054) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370721528676182 × 6371000     		do = 113.22789722978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79427815-1.79432609) × cos(-1.19102832) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370705015548015 × 6371000     		du = 113.22285369539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19101054)-sin(-1.19102832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370721528676182-0.370705015548015)×R²
    abs(1.79432609-1.79427815)×1.65131281675279e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65131281675279e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65131281675279e-05×40589641000000     		ar = 12825.7606568863m²