Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102960 / 99952
↖ ↑ ↗
← S 68.253110°
E102.788086°		 ← 113.16 m → S 68.253110°
E102.790833°		 →
↑
113.15 m
↓
↑
113.15 m
↓
S 68.254128°
E102.788086°		 ← 113.16 m →
12 804 m²		 S 68.254128°
E102.790833°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785526275634766 y=0.762577056884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785526275634766 × 217)
    floor (0.785526275634766 × 131072)
    floor (102960.5)     		tx = 102960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762577056884766 × 217)
    floor (0.762577056884766 × 131072)
    floor (99952.5)     		ty = 99952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102960 / 99952 ti = "17/102960/99952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102960/99952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102960 ÷ 217
    102960 ÷ 131072     		x = 0.7855224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99952 ÷ 217
    99952 ÷ 131072     		y = 0.7625732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7855224609375 × 2 - 1) × π
    0.571044921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79399053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7625732421875 × 2 - 1) × π
    -0.525146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64979633732385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79399053} λ = 1.79399053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64979633732385))-π/2
    2×atan(0.192089026002338)-π/2
    2×0.1897774114355-π/2
    0.379554822871-1.57079632675     		φ = -1.19124150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79399053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.788086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19124150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.253110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102960 KachelY 99952 1.79399053 -1.19124150 102.788086 -68.253110
    Oben rechts KachelX + 1 102961 KachelY 99952 1.79403847 -1.19124150 102.790833 -68.253110
    Unten links KachelX 102960 KachelY + 1 99953 1.79399053 -1.19125926 102.788086 -68.254128
    Unten rechts KachelX + 1 102961 KachelY + 1 99953 1.79403847 -1.19125926 102.790833 -68.254128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19124150--1.19125926) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dl = 113.148959999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19124150--1.19125926) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dr = 113.148959999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79399053-1.79403847) × cos(-1.19124150) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370507016059995 × 6371000     		do = 113.162379555242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79399053-1.79403847) × cos(-1.19125926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.37049051998667 × 6371000     		du = 113.157341229839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19124150)-sin(-1.19125926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370507016059995-0.37049051998667)×R²
    abs(1.79403847-1.79399053)×1.64960733244346e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64960733244346e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64960733244346e-05×40589641000000     		ar = 12803.9205174924m²