Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102959 / 99950
↖ ↑ ↗
← S 68.251075°
E102.785339°		 ← 113.17 m → S 68.251075°
E102.788086°		 →
↑
113.15 m
↓
↑
113.15 m
↓
S 68.252093°
E102.785339°		 ← 113.17 m →
12 805 m²		 S 68.252093°
E102.788086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785518646240234 y=0.762561798095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785518646240234 × 217)
    floor (0.785518646240234 × 131072)
    floor (102959.5)     		tx = 102959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762561798095703 × 217)
    floor (0.762561798095703 × 131072)
    floor (99950.5)     		ty = 99950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102959 / 99950 ti = "17/102959/99950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102959/99950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102959 ÷ 217
    102959 ÷ 131072     		x = 0.785514831542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99950 ÷ 217
    99950 ÷ 131072     		y = 0.762557983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785514831542969 × 2 - 1) × π
    0.571029663085938 × 3.1415926535     		Λ = 1.79394259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762557983398438 × 2 - 1) × π
    -0.525115966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64970046352461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79394259} λ = 1.79394259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64970046352461))-π/2
    2×atan(0.192107443189902)-π/2
    2×0.189795173183793-π/2
    0.379590346367586-1.57079632675     		φ = -1.19120598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79394259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.785339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19120598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.251075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102959 KachelY 99950 1.79394259 -1.19120598 102.785339 -68.251075
    Oben rechts KachelX + 1 102960 KachelY 99950 1.79399053 -1.19120598 102.788086 -68.251075
    Unten links KachelX 102959 KachelY + 1 99951 1.79394259 -1.19122374 102.785339 -68.252093
    Unten rechts KachelX + 1 102960 KachelY + 1 99951 1.79399053 -1.19122374 102.788086 -68.252093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19120598--1.19122374) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dl = 113.148959999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19120598--1.19122374) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dr = 113.148959999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79394259-1.79399053) × cos(-1.19120598) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.370540007856045 × 6371000     		do = 113.172456099488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79394259-1.79399053) × cos(-1.19122374) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.370523512016455 × 6371000     		du = 113.167417845475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19120598)-sin(-1.19122374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370540007856045-0.370523512016455)×R²
    abs(1.79399053-1.79394259)×1.6495839590347e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.6495839590347e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.6495839590347e-05×40589641000000     		ar = 12805.0606721053m²