Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102958 / 99949
↖ ↑ ↗
← S 68.250058°
E102.782593°		 ← 113.15 m → S 68.250058°
E102.785339°		 →
↑
113.15 m
↓
↑
113.15 m
↓
S 68.251075°
E102.782593°		 ← 113.15 m →
12 803 m²		 S 68.251075°
E102.785339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785511016845703 y=0.762554168701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785511016845703 × 217)
    floor (0.785511016845703 × 131072)
    floor (102958.5)     		tx = 102958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762554168701172 × 217)
    floor (0.762554168701172 × 131072)
    floor (99949.5)     		ty = 99949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102958 / 99949 ti = "17/102958/99949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102958/99949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102958 ÷ 217
    102958 ÷ 131072     		x = 0.785507202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99949 ÷ 217
    99949 ÷ 131072     		y = 0.762550354003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785507202148438 × 2 - 1) × π
    0.571014404296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79389466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762550354003906 × 2 - 1) × π
    -0.525100708007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.64965252662499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79389466} λ = 1.79389466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64965252662499))-π/2
    2×atan(0.192116652445852)-π/2
    2×0.189804054651084-π/2
    0.379608109302169-1.57079632675     		φ = -1.19118822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79389466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.782593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19118822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.250058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102958 KachelY 99949 1.79389466 -1.19118822 102.782593 -68.250058
    Oben rechts KachelX + 1 102959 KachelY 99949 1.79394259 -1.19118822 102.785339 -68.250058
    Unten links KachelX 102958 KachelY + 1 99950 1.79389466 -1.19120598 102.782593 -68.251075
    Unten rechts KachelX + 1 102959 KachelY + 1 99950 1.79394259 -1.19120598 102.785339 -68.251075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19118822--1.19120598) × R
    1.77600000001998e-05 × 6371000     		dl = 113.148960001273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19118822--1.19120598) × R
    1.77600000001998e-05 × 6371000     		dr = 113.148960001273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79389466-1.79394259) × cos(-1.19118822) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.370556503578761 × 6371000     		do = 113.153886162058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79389466-1.79394259) × cos(-1.19120598) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.370540007856045 × 6371000     		du = 113.148848994683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19118822)-sin(-1.19120598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370556503578761-0.370540007856045)×R²
    abs(1.79394259-1.79389466)×1.64957227157259e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.64957227157259e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.64957227157259e-05×40589641000000     		ar = 12802.9595645191m²