Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102956 / 99444
↖ ↑ ↗
← S 67.730272°
E102.777099°		 ← 115.75 m → S 67.730272°
E102.779846°		 →
↑
115.76 m
↓
↑
115.76 m
↓
S 67.731313°
E102.777099°		 ← 115.74 m →
13 399 m²		 S 67.731313°
E102.779846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785495758056641 y=0.758701324462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785495758056641 × 217)
    floor (0.785495758056641 × 131072)
    floor (102956.5)     		tx = 102956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758701324462891 × 217)
    floor (0.758701324462891 × 131072)
    floor (99444.5)     		ty = 99444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102956 / 99444 ti = "17/102956/99444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102956/99444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102956 ÷ 217
    102956 ÷ 131072     		x = 0.785491943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99444 ÷ 217
    99444 ÷ 131072     		y = 0.758697509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785491943359375 × 2 - 1) × π
    0.57098388671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79379878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758697509765625 × 2 - 1) × π
    -0.51739501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62544439231686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79379878} λ = 1.79379878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62544439231686))-π/2
    2×atan(0.196824188609258)-π/2
    2×0.194340038446685-π/2
    0.388680076893371-1.57079632675     		φ = -1.18211625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79379878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.777099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18211625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.730272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102956 KachelY 99444 1.79379878 -1.18211625 102.777099 -67.730272
    Oben rechts KachelX + 1 102957 KachelY 99444 1.79384672 -1.18211625 102.779846 -67.730272
    Unten links KachelX 102956 KachelY + 1 99445 1.79379878 -1.18213442 102.777099 -67.731313
    Unten rechts KachelX + 1 102957 KachelY + 1 99445 1.79384672 -1.18213442 102.779846 -67.731313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18211625--1.18213442) × R
    1.81699999999285e-05 × 6371000     		dl = 115.761069999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18211625--1.18213442) × R
    1.81699999999285e-05 × 6371000     		dr = 115.761069999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79379878-1.79384672) × cos(-1.18211625) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378967275365366 × 6371000     		do = 115.746360514175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79379878-1.79384672) × cos(-1.18213442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378950460601773 × 6371000     		du = 115.741224852562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18211625)-sin(-1.18213442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378967275365366-0.378950460601773)×R²
    abs(1.79384672-1.79379878)×1.68147635929428e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68147635929428e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68147635929428e-05×40589641000000     		ar = 13398.6252871698m²