Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102955 / 96572
↖ ↑ ↗
← S 64.543719°
E102.774353°		 ← 131.25 m → S 64.543719°
E102.777099°		 →
↑
131.24 m
↓
↑
131.24 m
↓
S 64.544899°
E102.774353°		 ← 131.25 m →
17 225 m²		 S 64.544899°
E102.777099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785488128662109 y=0.736789703369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785488128662109 × 217)
    floor (0.785488128662109 × 131072)
    floor (102955.5)     		tx = 102955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736789703369141 × 217)
    floor (0.736789703369141 × 131072)
    floor (96572.5)     		ty = 96572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102955 / 96572 ti = "17/102955/96572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102955/96572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102955 ÷ 217
    102955 ÷ 131072     		x = 0.785484313964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96572 ÷ 217
    96572 ÷ 131072     		y = 0.736785888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785484313964844 × 2 - 1) × π
    0.570968627929688 × 3.1415926535     		Λ = 1.79375085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736785888671875 × 2 - 1) × π
    -0.47357177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48776961660806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79375085} λ = 1.79375085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48776961660806))-π/2
    2×atan(0.225875883954887)-π/2
    2×0.222147964762106-π/2
    0.444295929524212-1.57079632675     		φ = -1.12650040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79375085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.774353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12650040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.543719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102955 KachelY 96572 1.79375085 -1.12650040 102.774353 -64.543719
    Oben rechts KachelX + 1 102956 KachelY 96572 1.79379878 -1.12650040 102.777099 -64.543719
    Unten links KachelX 102955 KachelY + 1 96573 1.79375085 -1.12652100 102.774353 -64.544899
    Unten rechts KachelX + 1 102956 KachelY + 1 96573 1.79379878 -1.12652100 102.777099 -64.544899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12650040--1.12652100) × R
    2.06000000000373e-05 × 6371000     		dl = 131.242600000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12650040--1.12652100) × R
    2.06000000000373e-05 × 6371000     		dr = 131.242600000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79375085-1.79379878) × cos(-1.12650040) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.429822269676181 × 6371000     		do = 131.251400807606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79375085-1.79379878) × cos(-1.12652100) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.429803669566563 × 6371000     		du = 131.245721040375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12650040)-sin(-1.12652100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429822269676181-0.429803669566563)×R²
    abs(1.79379878-1.79375085)×1.86001096179056e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86001096179056e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86001096179056e-05×40589641000000     		ar = 17225.402382609m²