Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102945 / 99743
↖ ↑ ↗
← S 68.039434°
E102.746887°		 ← 114.20 m → S 68.039434°
E102.749634°		 →
↑
114.17 m
↓
↑
114.17 m
↓
S 68.040461°
E102.746887°		 ← 114.19 m →
13 037 m²		 S 68.040461°
E102.749634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785411834716797 y=0.760982513427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785411834716797 × 217)
    floor (0.785411834716797 × 131072)
    floor (102945.5)     		tx = 102945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760982513427734 × 217)
    floor (0.760982513427734 × 131072)
    floor (99743.5)     		ty = 99743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102945 / 99743 ti = "17/102945/99743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102945/99743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102945 ÷ 217
    102945 ÷ 131072     		x = 0.785408020019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99743 ÷ 217
    99743 ÷ 131072     		y = 0.760978698730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785408020019531 × 2 - 1) × π
    0.570816040039062 × 3.1415926535     		Λ = 1.79327148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760978698730469 × 2 - 1) × π
    -0.521957397460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.63977752530326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79327148} λ = 1.79327148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63977752530326))-π/2
    2×atan(0.19402320274285)-π/2
    2×0.191642089875934-π/2
    0.383284179751867-1.57079632675     		φ = -1.18751215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79327148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.746887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18751215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.039434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102945 KachelY 99743 1.79327148 -1.18751215 102.746887 -68.039434
    Oben rechts KachelX + 1 102946 KachelY 99743 1.79331941 -1.18751215 102.749634 -68.039434
    Unten links KachelX 102945 KachelY + 1 99744 1.79327148 -1.18753007 102.746887 -68.040461
    Unten rechts KachelX + 1 102946 KachelY + 1 99744 1.79331941 -1.18753007 102.749634 -68.040461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18751215--1.18753007) × R
    1.79199999998936e-05 × 6371000     		dl = 114.168319999322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18751215--1.18753007) × R
    1.79199999998936e-05 × 6371000     		dr = 114.168319999322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79327148-1.79331941) × cos(-1.18751215) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373968362438383 × 6371000     		do = 114.19573831003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79327148-1.79331941) × cos(-1.18753007) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373951742627355 × 6371000     		du = 114.190663250796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18751215)-sin(-1.18753007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373968362438383-0.373951742627355)×R²
    abs(1.79331941-1.79327148)×1.66198110287397e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66198110287397e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66198110287397e-05×40589641000000     		ar = 13037.24588894m²