Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102943 / 96227
↖ ↑ ↗
← S 64.133379°
E102.741394°		 ← 133.25 m → S 64.133379°
E102.744141°		 →
↑
133.22 m
↓
↑
133.22 m
↓
S 64.134577°
E102.741394°		 ← 133.24 m →
17 751 m²		 S 64.134577°
E102.744141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785396575927734 y=0.734157562255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785396575927734 × 217)
    floor (0.785396575927734 × 131072)
    floor (102943.5)     		tx = 102943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734157562255859 × 217)
    floor (0.734157562255859 × 131072)
    floor (96227.5)     		ty = 96227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102943 / 96227 ti = "17/102943/96227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102943/96227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102943 ÷ 217
    102943 ÷ 131072     		x = 0.785392761230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96227 ÷ 217
    96227 ÷ 131072     		y = 0.734153747558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785392761230469 × 2 - 1) × π
    0.570785522460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.79317560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734153747558594 × 2 - 1) × π
    -0.468307495117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.47123138623914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79317560} λ = 1.79317560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47123138623914))-π/2
    2×atan(0.229642532356101)-π/2
    2×0.22572885380656-π/2
    0.451457707613119-1.57079632675     		φ = -1.11933862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79317560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.741394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11933862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.133379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102943 KachelY 96227 1.79317560 -1.11933862 102.741394 -64.133379
    Oben rechts KachelX + 1 102944 KachelY 96227 1.79322354 -1.11933862 102.744141 -64.133379
    Unten links KachelX 102943 KachelY + 1 96228 1.79317560 -1.11935953 102.741394 -64.134577
    Unten rechts KachelX + 1 102944 KachelY + 1 96228 1.79322354 -1.11935953 102.744141 -64.134577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11933862--1.11935953) × R
    2.09100000001516e-05 × 6371000     		dl = 133.217610000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11933862--1.11935953) × R
    2.09100000001516e-05 × 6371000     		dr = 133.217610000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79317560-1.79322354) × cos(-1.11933862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.436277659374891 × 6371000     		do = 133.250426959957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79317560-1.79322354) × cos(-1.11935953) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.436258844208637 × 6371000     		du = 133.24468032388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11933862)-sin(-1.11935953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436277659374891-0.436258844208637)×R²
    abs(1.79322354-1.79317560)×1.88151662540159e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88151662540159e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88151662540159e-05×40589641000000     		ar = 17750.9206351695m²