Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102941 / 96205
↖ ↑ ↗
← S 64.107004°
E102.735901°		 ← 133.38 m → S 64.107004°
E102.738648°		 →
↑
133.35 m
↓
↑
133.35 m
↓
S 64.108204°
E102.735901°		 ← 133.37 m →
17 785 m²		 S 64.108204°
E102.738648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785381317138672 y=0.733989715576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785381317138672 × 217)
    floor (0.785381317138672 × 131072)
    floor (102941.5)     		tx = 102941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733989715576172 × 217)
    floor (0.733989715576172 × 131072)
    floor (96205.5)     		ty = 96205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102941 / 96205 ti = "17/102941/96205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102941/96205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102941 ÷ 217
    102941 ÷ 131072     		x = 0.785377502441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96205 ÷ 217
    96205 ÷ 131072     		y = 0.733985900878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785377502441406 × 2 - 1) × π
    0.570755004882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.79307973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733985900878906 × 2 - 1) × π
    -0.467971801757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.4701767744475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79307973} λ = 1.79307973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4701767744475))-π/2
    2×atan(0.229884843828396)-π/2
    2×0.225959014769461-π/2
    0.451918029538921-1.57079632675     		φ = -1.11887830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79307973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.735901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11887830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.107004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102941 KachelY 96205 1.79307973 -1.11887830 102.735901 -64.107004
    Oben rechts KachelX + 1 102942 KachelY 96205 1.79312767 -1.11887830 102.738648 -64.107004
    Unten links KachelX 102941 KachelY + 1 96206 1.79307973 -1.11889923 102.735901 -64.108204
    Unten rechts KachelX + 1 102942 KachelY + 1 96206 1.79312767 -1.11889923 102.738648 -64.108204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11887830--1.11889923) × R
    2.09300000000301e-05 × 6371000     		dl = 133.345030000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11887830--1.11889923) × R
    2.09300000000301e-05 × 6371000     		dr = 133.345030000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79307973-1.79312767) × cos(-1.11887830) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.436691814640807 × 6371000     		do = 133.376920638524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79307973-1.79312767) × cos(-1.11889923) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.436672985683349 × 6371000     		du = 133.371169790259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11887830)-sin(-1.11889923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436691814640807-0.436672985683349)×R²
    abs(1.79312767-1.79307973)×1.8828957457806e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8828957457806e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8828957457806e-05×40589641000000     		ar = 17784.7660609792m²