Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102938 / 96570
↖ ↑ ↗
← S 64.541357°
E102.727661°		 ← 131.29 m → S 64.541357°
E102.730408°		 →
↑
131.24 m
↓
↑
131.24 m
↓
S 64.542538°
E102.727661°		 ← 131.28 m →
17 230 m²		 S 64.542538°
E102.730408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785358428955078 y=0.736774444580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785358428955078 × 217)
    floor (0.785358428955078 × 131072)
    floor (102938.5)     		tx = 102938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736774444580078 × 217)
    floor (0.736774444580078 × 131072)
    floor (96570.5)     		ty = 96570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102938 / 96570 ti = "17/102938/96570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102938/96570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102938 ÷ 217
    102938 ÷ 131072     		x = 0.785354614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96570 ÷ 217
    96570 ÷ 131072     		y = 0.736770629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785354614257812 × 2 - 1) × π
    0.570709228515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.79293592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736770629882812 × 2 - 1) × π
    -0.473541259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48767374280882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79293592} λ = 1.79293592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48767374280882))-π/2
    2×atan(0.225897540572173)-π/2
    2×0.222168570001056-π/2
    0.444337140002111-1.57079632675     		φ = -1.12645919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79293592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.727661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12645919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.541357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102938 KachelY 96570 1.79293592 -1.12645919 102.727661 -64.541357
    Oben rechts KachelX + 1 102939 KachelY 96570 1.79298386 -1.12645919 102.730408 -64.541357
    Unten links KachelX 102938 KachelY + 1 96571 1.79293592 -1.12647979 102.727661 -64.542538
    Unten rechts KachelX + 1 102939 KachelY + 1 96571 1.79298386 -1.12647979 102.730408 -64.542538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12645919--1.12647979) × R
    2.06000000000373e-05 × 6371000     		dl = 131.242600000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12645919--1.12647979) × R
    2.06000000000373e-05 × 6371000     		dr = 131.242600000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79293592-1.79298386) × cos(-1.12645919) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.429859478377168 × 6371000     		do = 131.290149279883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79293592-1.79298386) × cos(-1.12647979) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.429840878632446 × 6371000     		du = 131.284468439087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12645919)-sin(-1.12647979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429859478377168-0.429840878632446)×R²
    abs(1.79298386-1.79293592)×1.85997447226804e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.85997447226804e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.85997447226804e-05×40589641000000     		ar = 17230.4877623563m²