Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102931 / 99409
↖ ↑ ↗
← S 67.693814°
E102.708435°		 ← 115.93 m → S 67.693814°
E102.711182°		 →
↑
115.89 m
↓
↑
115.89 m
↓
S 67.694856°
E102.708435°		 ← 115.92 m →
13 434 m²		 S 67.694856°
E102.711182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785305023193359 y=0.758434295654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785305023193359 × 217)
    floor (0.785305023193359 × 131072)
    floor (102931.5)     		tx = 102931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758434295654297 × 217)
    floor (0.758434295654297 × 131072)
    floor (99409.5)     		ty = 99409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102931 / 99409 ti = "17/102931/99409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102931/99409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102931 ÷ 217
    102931 ÷ 131072     		x = 0.785301208496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99409 ÷ 217
    99409 ÷ 131072     		y = 0.758430480957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785301208496094 × 2 - 1) × π
    0.570602416992188 × 3.1415926535     		Λ = 1.79260036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758430480957031 × 2 - 1) × π
    -0.516860961914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.62376660083016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79260036} λ = 1.79260036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62376660083016))-π/2
    2×atan(0.197154695740778)-π/2
    2×0.194658199391096-π/2
    0.389316398782191-1.57079632675     		φ = -1.18147993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79260036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.708435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18147993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.693814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102931 KachelY 99409 1.79260036 -1.18147993 102.708435 -67.693814
    Oben rechts KachelX + 1 102932 KachelY 99409 1.79264830 -1.18147993 102.711182 -67.693814
    Unten links KachelX 102931 KachelY + 1 99410 1.79260036 -1.18149812 102.708435 -67.694856
    Unten rechts KachelX + 1 102932 KachelY + 1 99410 1.79264830 -1.18149812 102.711182 -67.694856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18147993--1.18149812) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dl = 115.888490000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18147993--1.18149812) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dr = 115.888490000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79260036-1.79264830) × cos(-1.18147993) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379556055541103 × 6371000     		do = 115.926189135046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79260036-1.79264830) × cos(-1.18149812) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379539226658898 × 6371000     		du = 115.921049161246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18147993)-sin(-1.18149812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379556055541103-0.379539226658898)×R²
    abs(1.79264830-1.79260036)×1.68288822044449e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68288822044449e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68288822044449e-05×40589641000000     		ar = 13434.213178912m²