Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102931 / 96547
↖ ↑ ↗
← S 64.514189°
E102.708435°		 ← 131.42 m → S 64.514189°
E102.711182°		 →
↑
131.43 m
↓
↑
131.43 m
↓
S 64.515371°
E102.708435°		 ← 131.42 m →
17 273 m²		 S 64.515371°
E102.711182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785305023193359 y=0.736598968505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785305023193359 × 217)
    floor (0.785305023193359 × 131072)
    floor (102931.5)     		tx = 102931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736598968505859 × 217)
    floor (0.736598968505859 × 131072)
    floor (96547.5)     		ty = 96547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102931 / 96547 ti = "17/102931/96547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102931/96547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102931 ÷ 217
    102931 ÷ 131072     		x = 0.785301208496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96547 ÷ 217
    96547 ÷ 131072     		y = 0.736595153808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785301208496094 × 2 - 1) × π
    0.570602416992188 × 3.1415926535     		Λ = 1.79260036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736595153808594 × 2 - 1) × π
    -0.473190307617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.48657119411756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79260036} λ = 1.79260036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48657119411756))-π/2
    2×atan(0.226146740962428)-π/2
    2×0.222405658486053-π/2
    0.444811316972106-1.57079632675     		φ = -1.12598501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79260036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.708435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12598501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.514189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102931 KachelY 96547 1.79260036 -1.12598501 102.708435 -64.514189
    Oben rechts KachelX + 1 102932 KachelY 96547 1.79264830 -1.12598501 102.711182 -64.514189
    Unten links KachelX 102931 KachelY + 1 96548 1.79260036 -1.12600564 102.708435 -64.515371
    Unten rechts KachelX + 1 102932 KachelY + 1 96548 1.79264830 -1.12600564 102.711182 -64.515371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12598501--1.12600564) × R
    2.0630000000077e-05 × 6371000     		dl = 131.43373000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12598501--1.12600564) × R
    2.0630000000077e-05 × 6371000     		dr = 131.43373000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79260036-1.79264830) × cos(-1.12598501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.430287565166171 × 6371000     		do = 131.42089800359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79260036-1.79264830) × cos(-1.12600564) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.43026894254134 × 6371000     		du = 131.41521017462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12598501)-sin(-1.12600564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430287565166171-0.43026894254134)×R²
    abs(1.79264830-1.79260036)×1.86226248310994e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86226248310994e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86226248310994e-05×40589641000000     		ar = 17272.7650388464m²