Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102930 / 99986
↖ ↑ ↗
← S 68.287684°
E102.705688°		 ← 112.99 m → S 68.287684°
E102.708435°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
S 68.288700°
E102.705688°		 ← 112.99 m →
12 763 m²		 S 68.288700°
E102.708435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785297393798828 y=0.762836456298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785297393798828 × 217)
    floor (0.785297393798828 × 131072)
    floor (102930.5)     		tx = 102930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762836456298828 × 217)
    floor (0.762836456298828 × 131072)
    floor (99986.5)     		ty = 99986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102930 / 99986 ti = "17/102930/99986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102930/99986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102930 ÷ 217
    102930 ÷ 131072     		x = 0.785293579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99986 ÷ 217
    99986 ÷ 131072     		y = 0.762832641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785293579101562 × 2 - 1) × π
    0.570587158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.79255242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762832641601562 × 2 - 1) × π
    -0.525665283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65142619191093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79255242} λ = 1.79255242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65142619191093))-π/2
    2×atan(0.191776203818764)-π/2
    2×0.189475703605884-π/2
    0.378951407211769-1.57079632675     		φ = -1.19184492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79255242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.705688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19184492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.287684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102930 KachelY 99986 1.79255242 -1.19184492 102.705688 -68.287684
    Oben rechts KachelX + 1 102931 KachelY 99986 1.79260036 -1.19184492 102.708435 -68.287684
    Unten links KachelX 102930 KachelY + 1 99987 1.79255242 -1.19186265 102.705688 -68.288700
    Unten rechts KachelX + 1 102931 KachelY + 1 99987 1.79260036 -1.19186265 102.708435 -68.288700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19184492--1.19186265) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dl = 112.957829999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19184492--1.19186265) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dr = 112.957829999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79255242-1.79260036) × cos(-1.19184492) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369946474242395 × 6371000     		do = 112.9911756558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79255242-1.79260036) × cos(-1.19186265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369930002073324 × 6371000     		du = 112.986144631372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19184492)-sin(-1.19186265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369946474242395-0.369930002073324)×R²
    abs(1.79260036-1.79255242)×1.64721690705805e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64721690705805e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64721690705805e-05×40589641000000     		ar = 12762.9538647678m²