Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10293 / 2415
↖ ↑ ↗
← N 77.546835°
E 46.164551°		 ← 526.86 m → N 77.546835°
E 46.186523°		 →
↑
527.01 m
↓
↑
527.01 m
↓
N 77.542096°
E 46.164551°		 ← 527.06 m →
277 711 m²		 N 77.542096°
E 46.186523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628265380859375 y=0.147430419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628265380859375 × 214)
    floor (0.628265380859375 × 16384)
    floor (10293.5)     		tx = 10293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147430419921875 × 214)
    floor (0.147430419921875 × 16384)
    floor (2415.5)     		ty = 2415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10293 / 2415 ti = "14/10293/2415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10293/2415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10293 ÷ 214
    10293 ÷ 16384     		x = 0.62823486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2415 ÷ 214
    2415 ÷ 16384     		y = 0.14739990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62823486328125 × 2 - 1) × π
    0.2564697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80572341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14739990234375 × 2 - 1) × π
    0.7052001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21545175284052
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80572341} λ = 0.80572341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21545175284052))-π/2
    2×atan(9.16554873917195)-π/2
    2×1.46212196157802-π/2
    2.92424392315604-1.57079632675     		φ = 1.35344760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80572341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.164551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35344760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.546835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10293 KachelY 2415 0.80572341 1.35344760 46.164551 77.546835
    Oben rechts KachelX + 1 10294 KachelY 2415 0.80610690 1.35344760 46.186523 77.546835
    Unten links KachelX 10293 KachelY + 1 2416 0.80572341 1.35336488 46.164551 77.542096
    Unten rechts KachelX + 1 10294 KachelY + 1 2416 0.80610690 1.35336488 46.186523 77.542096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35344760-1.35336488) × R
    8.27199999999806e-05 × 6371000     		dl = 527.009119999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35344760-1.35336488) × R
    8.27199999999806e-05 × 6371000     		dr = 527.009119999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80572341-0.80610690) × cos(1.35344760) × R
    0.000383489999999931 × 0.215641488358945 × 6371000     		do = 526.858473696092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80572341-0.80610690) × cos(1.35336488) × R
    0.000383489999999931 × 0.215722261434972 × 6371000     		du = 527.055819670075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35344760)-sin(1.35336488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215641488358945-0.215722261434972)×R²
    abs(0.80610690-0.80572341)×8.0773076027163e-05×R²
    0.000383489999999931×8.0773076027163e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.0773076027163e-05×40589641000000     		ar = 277711.222310588m²