Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10293 / 2413
↖ ↑ ↗
← N 77.556308°
E 46.164551°		 ← 526.46 m → N 77.556308°
E 46.186523°		 →
↑
526.56 m
↓
↑
526.56 m
↓
N 77.551572°
E 46.164551°		 ← 526.66 m →
277 268 m²		 N 77.551572°
E 46.186523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628265380859375 y=0.147308349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628265380859375 × 214)
    floor (0.628265380859375 × 16384)
    floor (10293.5)     		tx = 10293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147308349609375 × 214)
    floor (0.147308349609375 × 16384)
    floor (2413.5)     		ty = 2413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10293 / 2413 ti = "14/10293/2413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10293/2413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10293 ÷ 214
    10293 ÷ 16384     		x = 0.62823486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2413 ÷ 214
    2413 ÷ 16384     		y = 0.14727783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62823486328125 × 2 - 1) × π
    0.2564697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80572341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14727783203125 × 2 - 1) × π
    0.7054443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21621874323444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80572341} λ = 0.80572341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21621874323444))-π/2
    2×atan(9.17258132362751)-π/2
    2×1.46220462809385-π/2
    2.9244092561877-1.57079632675     		φ = 1.35361293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80572341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.164551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35361293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.556308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10293 KachelY 2413 0.80572341 1.35361293 46.164551 77.556308
    Oben rechts KachelX + 1 10294 KachelY 2413 0.80610690 1.35361293 46.186523 77.556308
    Unten links KachelX 10293 KachelY + 1 2414 0.80572341 1.35353028 46.164551 77.551572
    Unten rechts KachelX + 1 10294 KachelY + 1 2414 0.80610690 1.35353028 46.186523 77.551572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35361293-1.35353028) × R
    8.26499999999619e-05 × 6371000     		dl = 526.563149999757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35361293-1.35353028) × R
    8.26499999999619e-05 × 6371000     		dr = 526.563149999757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80572341-0.80610690) × cos(1.35361293) × R
    0.000383489999999931 × 0.215480045196707 × 6371000     		do = 526.464033374368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80572341-0.80610690) × cos(1.35353028) × R
    0.000383489999999931 × 0.215560752866987 × 6371000     		du = 526.661219548062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35361293)-sin(1.35353028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215480045196707-0.215560752866987)×R²
    abs(0.80610690-0.80572341)×8.07076702799281e-05×R²
    0.000383489999999931×8.07076702799281e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.07076702799281e-05×40589641000000     		ar = 277268.475419341m²