Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102923 / 96333
↖ ↑ ↗
← S 64.260106°
E102.686463°		 ← 132.61 m → S 64.260106°
E102.689209°		 →
↑
132.64 m
↓
↑
132.64 m
↓
S 64.261298°
E102.686463°		 ← 132.61 m →
17 590 m²		 S 64.261298°
E102.689209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785243988037109 y=0.734966278076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785243988037109 × 217)
    floor (0.785243988037109 × 131072)
    floor (102923.5)     		tx = 102923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734966278076172 × 217)
    floor (0.734966278076172 × 131072)
    floor (96333.5)     		ty = 96333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102923 / 96333 ti = "17/102923/96333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102923/96333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102923 ÷ 217
    102923 ÷ 131072     		x = 0.785240173339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96333 ÷ 217
    96333 ÷ 131072     		y = 0.734962463378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785240173339844 × 2 - 1) × π
    0.570480346679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.79221687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734962463378906 × 2 - 1) × π
    -0.469924926757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.47631269759887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79221687} λ = 1.79221687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47631269759887))-π/2
    2×atan(0.228478606786226)-π/2
    2×0.224622953535441-π/2
    0.449245907070881-1.57079632675     		φ = -1.12155042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79221687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.686463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12155042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.260106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102923 KachelY 96333 1.79221687 -1.12155042 102.686463 -64.260106
    Oben rechts KachelX + 1 102924 KachelY 96333 1.79226480 -1.12155042 102.689209 -64.260106
    Unten links KachelX 102923 KachelY + 1 96334 1.79221687 -1.12157124 102.686463 -64.261298
    Unten rechts KachelX + 1 102924 KachelY + 1 96334 1.79226480 -1.12157124 102.689209 -64.261298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12155042--1.12157124) × R
    2.08200000000325e-05 × 6371000     		dl = 132.644220000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12155042--1.12157124) × R
    2.08200000000325e-05 × 6371000     		dr = 132.644220000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79221687-1.79226480) × cos(-1.12155042) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.434286389461149 × 6371000     		do = 132.614573487308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79221687-1.79226480) × cos(-1.12157124) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.43426763523463 × 6371000     		du = 132.608846658627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12155042)-sin(-1.12157124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434286389461149-0.43426763523463)×R²
    abs(1.79226480-1.79221687)×1.875422651898e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.875422651898e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.875422651898e-05×40589641000000     		ar = 17590.1768460053m²