Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102921 / 96585
↖ ↑ ↗
← S 64.559061°
E102.680969°		 ← 131.20 m → S 64.559061°
E102.683716°		 →
↑
131.18 m
↓
↑
131.18 m
↓
S 64.560241°
E102.680969°		 ← 131.20 m →
17 211 m²		 S 64.560241°
E102.683716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785228729248047 y=0.736888885498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785228729248047 × 217)
    floor (0.785228729248047 × 131072)
    floor (102921.5)     		tx = 102921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736888885498047 × 217)
    floor (0.736888885498047 × 131072)
    floor (96585.5)     		ty = 96585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102921 / 96585 ti = "17/102921/96585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102921/96585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102921 ÷ 217
    102921 ÷ 131072     		x = 0.785224914550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96585 ÷ 217
    96585 ÷ 131072     		y = 0.736885070800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785224914550781 × 2 - 1) × π
    0.570449829101562 × 3.1415926535     		Λ = 1.79212099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736885070800781 × 2 - 1) × π
    -0.473770141601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.48839279630312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79212099} λ = 1.79212099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48839279630312))-π/2
    2×atan(0.225735166541074)-π/2
    2×0.222014074179598-π/2
    0.444028148359197-1.57079632675     		φ = -1.12676818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79212099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.680969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12676818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.559061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102921 KachelY 96585 1.79212099 -1.12676818 102.680969 -64.559061
    Oben rechts KachelX + 1 102922 KachelY 96585 1.79216893 -1.12676818 102.683716 -64.559061
    Unten links KachelX 102921 KachelY + 1 96586 1.79212099 -1.12678877 102.680969 -64.560241
    Unten rechts KachelX + 1 102922 KachelY + 1 96586 1.79216893 -1.12678877 102.683716 -64.560241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12676818--1.12678877) × R
    2.0590000000098e-05 × 6371000     		dl = 131.178890000625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12676818--1.12678877) × R
    2.0590000000098e-05 × 6371000     		dr = 131.178890000625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79212099-1.79216893) × cos(-1.12676818) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.429580472087442 × 6371000     		do = 131.204933577378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79212099-1.79216893) × cos(-1.12678877) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.429561878637901 × 6371000     		du = 131.199254659293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12676818)-sin(-1.12678877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429580472087442-0.429561878637901)×R²
    abs(1.79216893-1.79212099)×1.85934495403051e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.85934495403051e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.85934495403051e-05×40589641000000     		ar = 17210.9450726929m²