Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102918 / 96638
↖ ↑ ↗
← S 64.621523°
E102.672729°		 ← 130.90 m → S 64.621523°
E102.675476°		 →
↑
130.92 m
↓
↑
130.92 m
↓
S 64.622700°
E102.672729°		 ← 130.90 m →
17 138 m²		 S 64.622700°
E102.675476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785205841064453 y=0.737293243408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785205841064453 × 217)
    floor (0.785205841064453 × 131072)
    floor (102918.5)     		tx = 102918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737293243408203 × 217)
    floor (0.737293243408203 × 131072)
    floor (96638.5)     		ty = 96638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102918 / 96638 ti = "17/102918/96638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102918/96638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102918 ÷ 217
    102918 ÷ 131072     		x = 0.785202026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96638 ÷ 217
    96638 ÷ 131072     		y = 0.737289428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785202026367188 × 2 - 1) × π
    0.570404052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.79197718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737289428710938 × 2 - 1) × π
    -0.474578857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49093345198299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79197718} λ = 1.79197718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49093345198299))-π/2
    2×atan(0.225162379143942)-π/2
    2×0.221468991778976-π/2
    0.442937983557952-1.57079632675     		φ = -1.12785834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79197718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.672729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12785834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.621523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102918 KachelY 96638 1.79197718 -1.12785834 102.672729 -64.621523
    Oben rechts KachelX + 1 102919 KachelY 96638 1.79202512 -1.12785834 102.675476 -64.621523
    Unten links KachelX 102918 KachelY + 1 96639 1.79197718 -1.12787889 102.672729 -64.622700
    Unten rechts KachelX + 1 102919 KachelY + 1 96639 1.79202512 -1.12787889 102.675476 -64.622700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12785834--1.12787889) × R
    2.05500000001191e-05 × 6371000     		dl = 130.924050000759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12785834--1.12787889) × R
    2.05500000001191e-05 × 6371000     		dr = 130.924050000759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79197718-1.79202512) × cos(-1.12785834) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.428595771377456 × 6371000     		do = 130.904180633744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79197718-1.79202512) × cos(-1.12787889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.428577204436849 × 6371000     		du = 130.89850981217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12785834)-sin(-1.12787889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428595771377456-0.428577204436849)×R²
    abs(1.79202512-1.79197718)×1.85669406069233e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85669406069233e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85669406069233e-05×40589641000000     		ar = 17138.1342678272m²