Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10291 / 2410
↖ ↑ ↗
← N 77.570504°
E 46.120606°		 ← 525.87 m → N 77.570504°
E 46.142578°		 →
↑
525.99 m
↓
↑
525.99 m
↓
N 77.565774°
E 46.120606°		 ← 526.07 m →
276 656 m²		 N 77.565774°
E 46.142578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628143310546875 y=0.147125244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628143310546875 × 214)
    floor (0.628143310546875 × 16384)
    floor (10291.5)     		tx = 10291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147125244140625 × 214)
    floor (0.147125244140625 × 16384)
    floor (2410.5)     		ty = 2410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10291 / 2410 ti = "14/10291/2410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10291/2410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10291 ÷ 214
    10291 ÷ 16384     		x = 0.62811279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2410 ÷ 214
    2410 ÷ 16384     		y = 0.1470947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62811279296875 × 2 - 1) × π
    0.2562255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80495642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1470947265625 × 2 - 1) × π
    0.705810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21736922882532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80495642} λ = 0.80495642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21736922882532))-π/2
    2×atan(9.18314031909293)-π/2
    2×1.46232851183432-π/2
    2.92465702366865-1.57079632675     		φ = 1.35386070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80495642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.120606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35386070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.570504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10291 KachelY 2410 0.80495642 1.35386070 46.120606 77.570504
    Oben rechts KachelX + 1 10292 KachelY 2410 0.80533991 1.35386070 46.142578 77.570504
    Unten links KachelX 10291 KachelY + 1 2411 0.80495642 1.35377814 46.120606 77.565774
    Unten rechts KachelX + 1 10292 KachelY + 1 2411 0.80533991 1.35377814 46.142578 77.565774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35386070-1.35377814) × R
    8.25600000000648e-05 × 6371000     		dl = 525.989760000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35386070-1.35377814) × R
    8.25600000000648e-05 × 6371000     		dr = 525.989760000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80495642-0.80533991) × cos(1.35386070) × R
    0.000383490000000042 × 0.21523808913747 × 6371000     		do = 525.872882752063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80495642-0.80533991) × cos(1.35377814) × R
    0.000383490000000042 × 0.215318713329797 × 6371000     		du = 526.069864971187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35386070)-sin(1.35377814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21523808913747-0.215318713329797)×R²
    abs(0.80533991-0.80495642)×8.06241923266282e-05×R²
    0.000383490000000042×8.06241923266282e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.06241923266282e-05×40589641000000     		ar = 276655.556860802m²