Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102907 / 96624
↖ ↑ ↗
← S 64.605038°
E102.642517°		 ← 130.96 m → S 64.605038°
E102.645264°		 →
↑
130.99 m
↓
↑
130.99 m
↓
S 64.606216°
E102.642517°		 ← 130.95 m →
17 153 m²		 S 64.606216°
E102.645264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785121917724609 y=0.737186431884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785121917724609 × 217)
    floor (0.785121917724609 × 131072)
    floor (102907.5)     		tx = 102907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737186431884766 × 217)
    floor (0.737186431884766 × 131072)
    floor (96624.5)     		ty = 96624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102907 / 96624 ti = "17/102907/96624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102907/96624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102907 ÷ 217
    102907 ÷ 131072     		x = 0.785118103027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96624 ÷ 217
    96624 ÷ 131072     		y = 0.7371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785118103027344 × 2 - 1) × π
    0.570236206054688 × 3.1415926535     		Λ = 1.79144988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7371826171875 × 2 - 1) × π
    -0.474365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49026233538831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79144988} λ = 1.79144988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49026233538831))-π/2
    2×atan(0.225313540070713)-π/2
    2×0.2216128542545-π/2
    0.443225708509-1.57079632675     		φ = -1.12757062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79144988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.642517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12757062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.605038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102907 KachelY 96624 1.79144988 -1.12757062 102.642517 -64.605038
    Oben rechts KachelX + 1 102908 KachelY 96624 1.79149781 -1.12757062 102.645264 -64.605038
    Unten links KachelX 102907 KachelY + 1 96625 1.79144988 -1.12759118 102.642517 -64.606216
    Unten rechts KachelX + 1 102908 KachelY + 1 96625 1.79149781 -1.12759118 102.645264 -64.606216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12757062--1.12759118) × R
    2.05600000000583e-05 × 6371000     		dl = 130.987760000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12757062--1.12759118) × R
    2.05600000000583e-05 × 6371000     		dr = 130.987760000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79144988-1.79149781) × cos(-1.12757062) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.428855707605151 × 6371000     		do = 130.956249451476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79144988-1.79149781) × cos(-1.12759118) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.428837134165575 × 6371000     		du = 130.950577828263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12757062)-sin(-1.12759118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428855707605151-0.428837134165575)×R²
    abs(1.79149781-1.79144988)×1.85734395763415e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.85734395763415e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.85734395763415e-05×40589641000000     		ar = 17153.2943176892m²