Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102904 / 99784
↖ ↑ ↗
← S 68.081508°
E102.634278°		 ← 113.99 m → S 68.081508°
E102.637024°		 →
↑
113.98 m
↓
↑
113.98 m
↓
S 68.082533°
E102.634278°		 ← 113.98 m →
12 992 m²		 S 68.082533°
E102.637024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785099029541016 y=0.761295318603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785099029541016 × 217)
    floor (0.785099029541016 × 131072)
    floor (102904.5)     		tx = 102904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761295318603516 × 217)
    floor (0.761295318603516 × 131072)
    floor (99784.5)     		ty = 99784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102904 / 99784 ti = "17/102904/99784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102904/99784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102904 ÷ 217
    102904 ÷ 131072     		x = 0.78509521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99784 ÷ 217
    99784 ÷ 131072     		y = 0.76129150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78509521484375 × 2 - 1) × π
    0.5701904296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79130607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76129150390625 × 2 - 1) × π
    -0.5225830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64174293818768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79130607} λ = 1.79130607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64174293818768))-π/2
    2×atan(0.193642241535968)-π/2
    2×0.191274923525396-π/2
    0.382549847050793-1.57079632675     		φ = -1.18824648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79130607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.634278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18824648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.081508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102904 KachelY 99784 1.79130607 -1.18824648 102.634278 -68.081508
    Oben rechts KachelX + 1 102905 KachelY 99784 1.79135400 -1.18824648 102.637024 -68.081508
    Unten links KachelX 102904 KachelY + 1 99785 1.79130607 -1.18826437 102.634278 -68.082533
    Unten rechts KachelX + 1 102905 KachelY + 1 99785 1.79135400 -1.18826437 102.637024 -68.082533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18824648--1.18826437) × R
    1.78899999998539e-05 × 6371000     		dl = 113.977189999069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18824648--1.18826437) × R
    1.78899999998539e-05 × 6371000     		dr = 113.977189999069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79130607-1.79135400) × cos(-1.18824648) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.373287213581963 × 6371000     		do = 113.987741311974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79130607-1.79135400) × cos(-1.18826437) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.373270616686079 × 6371000     		du = 113.982673250155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18824648)-sin(-1.18826437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373287213581963-0.373270616686079)×R²
    abs(1.79135400-1.79130607)×1.65968958846241e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.65968958846241e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.65968958846241e-05×40589641000000     		ar = 12991.7136275886m²