Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102900 / 96554
↖ ↑ ↗
← S 64.522460°
E102.623291°		 ← 131.35 m → S 64.522460°
E102.626037°		 →
↑
131.37 m
↓
↑
131.37 m
↓
S 64.523642°
E102.623291°		 ← 131.35 m →
17 256 m²		 S 64.523642°
E102.626037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785068511962891 y=0.736652374267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785068511962891 × 217)
    floor (0.785068511962891 × 131072)
    floor (102900.5)     		tx = 102900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736652374267578 × 217)
    floor (0.736652374267578 × 131072)
    floor (96554.5)     		ty = 96554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102900 / 96554 ti = "17/102900/96554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102900/96554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102900 ÷ 217
    102900 ÷ 131072     		x = 0.785064697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96554 ÷ 217
    96554 ÷ 131072     		y = 0.736648559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785064697265625 × 2 - 1) × π
    0.57012939453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.79111432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736648559570312 × 2 - 1) × π
    -0.473297119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4869067524149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79111432} λ = 1.79111432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4869067524149))-π/2
    2×atan(0.226070868277648)-π/2
    2×0.222333476137686-π/2
    0.444666952275372-1.57079632675     		φ = -1.12612937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79111432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.623291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12612937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.522460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102900 KachelY 96554 1.79111432 -1.12612937 102.623291 -64.522460
    Oben rechts KachelX + 1 102901 KachelY 96554 1.79116225 -1.12612937 102.626037 -64.522460
    Unten links KachelX 102900 KachelY + 1 96555 1.79111432 -1.12614999 102.623291 -64.523642
    Unten rechts KachelX + 1 102901 KachelY + 1 96555 1.79116225 -1.12614999 102.626037 -64.523642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12612937--1.12614999) × R
    2.06200000001378e-05 × 6371000     		dl = 131.370020000878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12612937--1.12614999) × R
    2.06200000001378e-05 × 6371000     		dr = 131.370020000878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79111432-1.79116225) × cos(-1.12612937) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.430157248084787 × 6371000     		do = 131.353690494465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79111432-1.79116225) × cos(-1.12614999) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.430138633206346 × 6371000     		du = 131.348006217396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12612937)-sin(-1.12614999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430157248084787-0.430138633206346)×R²
    abs(1.79116225-1.79111432)×1.86148784404039e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86148784404039e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86148784404039e-05×40589641000000     		ar = 17255.5635762532m²