Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1029 / 1181
↖ ↑ ↗
← S 26.588527°
E  0.878906°		 ← 17.479 km → S 26.588527°
E  1.054688°		 →
↑
17.467 km
↓
↑
17.467 km
↓
S 26.745610°
E  0.878906°		 ← 17.455 km →
305.091 km²		 S 26.745610°
E  1.054688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502685546875 y=0.576904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502685546875 × 211)
    floor (0.502685546875 × 2048)
    floor (1029.5)     		tx = 1029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576904296875 × 211)
    floor (0.576904296875 × 2048)
    floor (1181.5)     		ty = 1181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1029 / 1181 ti = "11/1029/1181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1029/1181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1029 ÷ 211
    1029 ÷ 2048     		x = 0.50244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1181 ÷ 211
    1181 ÷ 2048     		y = 0.57666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50244140625 × 2 - 1) × π
    0.0048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01533981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57666015625 × 2 - 1) × π
    -0.1533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.481669967382324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01533981} λ = 0.01533981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.481669967382324))-π/2
    2×atan(0.617750906073797)-π/2
    2×0.553369492415388-π/2
    1.10673898483078-1.57079632675     		φ = -0.46405734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01533981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46405734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.588527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1029 KachelY 1181 0.01533981 -0.46405734 0.878906 -26.588527
    Oben rechts KachelX + 1 1030 KachelY 1181 0.01840777 -0.46405734 1.054688 -26.588527
    Unten links KachelX 1029 KachelY + 1 1182 0.01533981 -0.46679896 0.878906 -26.745610
    Unten rechts KachelX + 1 1030 KachelY + 1 1182 0.01840777 -0.46679896 1.054688 -26.745610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46405734--0.46679896) × R
    0.00274162 × 6371000     		dl = 17466.86102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46405734--0.46679896) × R
    0.00274162 × 6371000     		dr = 17466.86102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01533981-0.01840777) × cos(-0.46405734) × R
    0.00306796 × 0.894243878653715 × 6371000     		do = 17478.8668506598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01533981-0.01840777) × cos(-0.46679896) × R
    0.00306796 × 0.893013425041148 × 6371000     		du = 17454.816437374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46405734)-sin(-0.46679896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894243878653715-0.893013425041148)×R²
    abs(0.01840777-0.01533981)×0.00123045361256735×R²
    0.00306796×0.00123045361256735×6371000²
    0.00306796×0.00123045361256735×40589641000000     		ar = 305091086.55534m²