Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102897 / 96561
↖ ↑ ↗
← S 64.530730°
E102.615051°		 ← 131.31 m → S 64.530730°
E102.617798°		 →
↑
131.31 m
↓
↑
131.31 m
↓
S 64.531910°
E102.615051°		 ← 131.31 m →
17 242 m²		 S 64.531910°
E102.617798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785045623779297 y=0.736705780029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785045623779297 × 217)
    floor (0.785045623779297 × 131072)
    floor (102897.5)     		tx = 102897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736705780029297 × 217)
    floor (0.736705780029297 × 131072)
    floor (96561.5)     		ty = 96561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102897 / 96561 ti = "17/102897/96561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102897/96561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102897 ÷ 217
    102897 ÷ 131072     		x = 0.785041809082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96561 ÷ 217
    96561 ÷ 131072     		y = 0.736701965332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785041809082031 × 2 - 1) × π
    0.570083618164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.79097051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736701965332031 × 2 - 1) × π
    -0.473403930664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.48724231071224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79097051} λ = 1.79097051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48724231071224))-π/2
    2×atan(0.225995021048305)-π/2
    2×0.22226131565196-π/2
    0.444522631303919-1.57079632675     		φ = -1.12627370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79097051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.615051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12627370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.530730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102897 KachelY 96561 1.79097051 -1.12627370 102.615051 -64.530730
    Oben rechts KachelX + 1 102898 KachelY 96561 1.79101844 -1.12627370 102.617798 -64.530730
    Unten links KachelX 102897 KachelY + 1 96562 1.79097051 -1.12629431 102.615051 -64.531910
    Unten rechts KachelX + 1 102898 KachelY + 1 96562 1.79101844 -1.12629431 102.617798 -64.531910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12627370--1.12629431) × R
    2.06099999999765e-05 × 6371000     		dl = 131.30630999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12627370--1.12629431) × R
    2.06099999999765e-05 × 6371000     		dr = 131.30630999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79097051-1.79101844) × cos(-1.12627370) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.430026949123489 × 6371000     		do = 131.313902139136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79097051-1.79101844) × cos(-1.12629431) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.430008341993335 × 6371000     		du = 131.3082202281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12627370)-sin(-1.12629431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430026949123489-0.430008341993335)×R²
    abs(1.79101844-1.79097051)×1.86071301538915e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86071301538915e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86071301538915e-05×40589641000000     		ar = 17241.9709068293m²