Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102893 / 99755
↖ ↑ ↗
← S 68.051756°
E102.604065°		 ← 114.16 m → S 68.051756°
E102.606812°		 →
↑
114.17 m
↓
↑
114.17 m
↓
S 68.052783°
E102.604065°		 ← 114.15 m →
13 033 m²		 S 68.052783°
E102.606812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785015106201172 y=0.761074066162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785015106201172 × 217)
    floor (0.785015106201172 × 131072)
    floor (102893.5)     		tx = 102893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761074066162109 × 217)
    floor (0.761074066162109 × 131072)
    floor (99755.5)     		ty = 99755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102893 / 99755 ti = "17/102893/99755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102893/99755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102893 ÷ 217
    102893 ÷ 131072     		x = 0.785011291503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99755 ÷ 217
    99755 ÷ 131072     		y = 0.761070251464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785011291503906 × 2 - 1) × π
    0.570022583007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.79077876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761070251464844 × 2 - 1) × π
    -0.522140502929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.6403527680987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79077876} λ = 1.79077876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6403527680987))-π/2
    2×atan(0.193911624388723)-π/2
    2×0.191534557259958-π/2
    0.383069114519917-1.57079632675     		φ = -1.18772721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79077876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.604065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18772721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.051756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102893 KachelY 99755 1.79077876 -1.18772721 102.604065 -68.051756
    Oben rechts KachelX + 1 102894 KachelY 99755 1.79082670 -1.18772721 102.606812 -68.051756
    Unten links KachelX 102893 KachelY + 1 99756 1.79077876 -1.18774513 102.604065 -68.052783
    Unten rechts KachelX + 1 102894 KachelY + 1 99756 1.79082670 -1.18774513 102.606812 -68.052783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18772721--1.18774513) × R
    1.79199999998936e-05 × 6371000     		dl = 114.168319999322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18772721--1.18774513) × R
    1.79199999998936e-05 × 6371000     		dr = 114.168319999322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79077876-1.79082670) × cos(-1.18772721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373768898231113 × 6371000     		do = 114.158642331148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79077876-1.79082670) × cos(-1.18774513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373752276979273 × 6371000     		du = 114.153565773005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18772721)-sin(-1.18774513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373768898231113-0.373752276979273)×R²
    abs(1.79082670-1.79077876)×1.66212518397102e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66212518397102e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66212518397102e-05×40589641000000     		ar = 13033.0106174933m²