Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10289 / 2404
↖ ↑ ↗
← N 77.598848°
E 46.076660°		 ← 524.69 m → N 77.598848°
E 46.098633°		 →
↑
524.84 m
↓
↑
524.84 m
↓
N 77.594128°
E 46.076660°		 ← 524.89 m →
275 433 m²		 N 77.594128°
E 46.098633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628021240234375 y=0.146759033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628021240234375 × 214)
    floor (0.628021240234375 × 16384)
    floor (10289.5)     		tx = 10289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146759033203125 × 214)
    floor (0.146759033203125 × 16384)
    floor (2404.5)     		ty = 2404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10289 / 2404 ti = "14/10289/2404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10289/2404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10289 ÷ 214
    10289 ÷ 16384     		x = 0.62799072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2404 ÷ 214
    2404 ÷ 16384     		y = 0.146728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62799072265625 × 2 - 1) × π
    0.2559814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80418943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146728515625 × 2 - 1) × π
    0.70654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21967020000708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80418943} λ = 0.80418943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21967020000708))-π/2
    2×atan(9.20429478890447)-π/2
    2×1.46257586214078-π/2
    2.92515172428157-1.57079632675     		φ = 1.35435540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80418943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.076660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35435540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.598848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10289 KachelY 2404 0.80418943 1.35435540 46.076660 77.598848
    Oben rechts KachelX + 1 10290 KachelY 2404 0.80457292 1.35435540 46.098633 77.598848
    Unten links KachelX 10289 KachelY + 1 2405 0.80418943 1.35427302 46.076660 77.594128
    Unten rechts KachelX + 1 10290 KachelY + 1 2405 0.80457292 1.35427302 46.098633 77.594128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35435540-1.35427302) × R
    8.23800000000485e-05 × 6371000     		dl = 524.842980000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35435540-1.35427302) × R
    8.23800000000485e-05 × 6371000     		dr = 524.842980000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80418943-0.80457292) × cos(1.35435540) × R
    0.000383490000000042 × 0.214754957794634 × 6371000     		do = 524.692489109733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80418943-0.80457292) × cos(1.35427302) × R
    0.000383490000000042 × 0.214835414972544 × 6371000     		du = 524.889063276763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35435540)-sin(1.35427302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214754957794634-0.214835414972544)×R²
    abs(0.80457292-0.80418943)×8.04571779096097e-05×R²
    0.000383490000000042×8.04571779096097e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.04571779096097e-05×40589641000000     		ar = 275432.755009376m²