Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102887 / 99205
↖ ↑ ↗
← S 67.480183°
E102.587586°		 ← 116.95 m → S 67.480183°
E102.590332°		 →
↑
116.97 m
↓
↑
116.97 m
↓
S 67.481235°
E102.587586°		 ← 116.95 m →
13 680 m²		 S 67.481235°
E102.590332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784969329833984 y=0.756877899169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784969329833984 × 217)
    floor (0.784969329833984 × 131072)
    floor (102887.5)     		tx = 102887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756877899169922 × 217)
    floor (0.756877899169922 × 131072)
    floor (99205.5)     		ty = 99205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102887 / 99205 ti = "17/102887/99205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102887/99205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102887 ÷ 217
    102887 ÷ 131072     		x = 0.784965515136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99205 ÷ 217
    99205 ÷ 131072     		y = 0.756874084472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784965515136719 × 2 - 1) × π
    0.569931030273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.79049114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756874084472656 × 2 - 1) × π
    -0.513748168945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.61398747330767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79049114} λ = 1.79049114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61398747330767))-π/2
    2×atan(0.199092154540297)-π/2
    2×0.1965224793177-π/2
    0.3930449586354-1.57079632675     		φ = -1.17775137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79049114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.587586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17775137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.480183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102887 KachelY 99205 1.79049114 -1.17775137 102.587586 -67.480183
    Oben rechts KachelX + 1 102888 KachelY 99205 1.79053907 -1.17775137 102.590332 -67.480183
    Unten links KachelX 102887 KachelY + 1 99206 1.79049114 -1.17776973 102.587586 -67.481235
    Unten rechts KachelX + 1 102888 KachelY + 1 99206 1.79053907 -1.17776973 102.590332 -67.481235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17775137--1.17776973) × R
    1.83600000001061e-05 × 6371000     		dl = 116.971560000676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17775137--1.17776973) × R
    1.83600000001061e-05 × 6371000     		dr = 116.971560000676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79049114-1.79053907) × cos(-1.17775137) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.383002956390748 × 6371000     		do = 116.95456025901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79049114-1.79053907) × cos(-1.17776973) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.382985996329136 × 6371000     		du = 116.949381300167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17775137)-sin(-1.17776973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383002956390748-0.382985996329136)×R²
    abs(1.79053907-1.79049114)×1.69600616127807e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.69600616127807e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.69600616127807e-05×40589641000000     		ar = 13680.0544675864m²