Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102884 / 99684
↖ ↑ ↗
← S 67.978754°
E102.579346°		 ← 114.50 m → S 67.978754°
E102.582092°		 →
↑
114.55 m
↓
↑
114.55 m
↓
S 67.979784°
E102.579346°		 ← 114.49 m →
13 115 m²		 S 67.979784°
E102.582092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784946441650391 y=0.760532379150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784946441650391 × 217)
    floor (0.784946441650391 × 131072)
    floor (102884.5)     		tx = 102884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760532379150391 × 217)
    floor (0.760532379150391 × 131072)
    floor (99684.5)     		ty = 99684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102884 / 99684 ti = "17/102884/99684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102884/99684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102884 ÷ 217
    102884 ÷ 131072     		x = 0.784942626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99684 ÷ 217
    99684 ÷ 131072     		y = 0.760528564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784942626953125 × 2 - 1) × π
    0.56988525390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.79034733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760528564453125 × 2 - 1) × π
    -0.52105712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63694924822568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79034733} λ = 1.79034733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63694924822568))-π/2
    2×atan(0.194572730862266)-π/2
    2×0.19217162705528-π/2
    0.38434325411056-1.57079632675     		φ = -1.18645307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79034733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.579346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18645307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.978754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102884 KachelY 99684 1.79034733 -1.18645307 102.579346 -67.978754
    Oben rechts KachelX + 1 102885 KachelY 99684 1.79039526 -1.18645307 102.582092 -67.978754
    Unten links KachelX 102884 KachelY + 1 99685 1.79034733 -1.18647105 102.579346 -67.979784
    Unten rechts KachelX + 1 102885 KachelY + 1 99685 1.79039526 -1.18647105 102.582092 -67.979784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18645307--1.18647105) × R
    1.7979999999973e-05 × 6371000     		dl = 114.550579999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18645307--1.18647105) × R
    1.7979999999973e-05 × 6371000     		dr = 114.550579999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79034733-1.79039526) × cos(-1.18645307) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374950387226587 × 6371000     		do = 114.495611392867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79034733-1.79039526) × cos(-1.18647105) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374933718899062 × 6371000     		du = 114.490521518537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18645307)-sin(-1.18647105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374950387226587-0.374933718899062)×R²
    abs(1.79039526-1.79034733)×1.66683275251156e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66683275251156e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66683275251156e-05×40589641000000     		ar = 13115.2471687135m²