Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 10288 / 14319
↖ ↑ ↗
← N 70.643589°
W123.486328°		 ← 202.46 m → N 70.643589°
W123.480835°		 →
↑
202.47 m
↓
↑
202.47 m
↓
N 70.641769°
W123.486328°		 ← 202.48 m →
40 995 m²		 N 70.641769°
W123.480835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156990051269531 y=0.218498229980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156990051269531 × 216)
    floor (0.156990051269531 × 65536)
    floor (10288.5)     		tx = 10288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218498229980469 × 216)
    floor (0.218498229980469 × 65536)
    floor (14319.5)     		ty = 14319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10288 / 14319 ti = "16/10288/14319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10288/14319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10288 ÷ 216
    10288 ÷ 65536     		x = 0.156982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14319 ÷ 216
    14319 ÷ 65536     		y = 0.218490600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156982421875 × 2 - 1) × π
    -0.68603515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15524301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218490600585938 × 2 - 1) × π
    0.563018798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76877572218083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15524301} λ = -2.15524301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76877572218083))-π/2
    2×atan(5.86367020382012)-π/2
    2×1.40187977941556-π/2
    2.80375955883112-1.57079632675     		φ = 1.23296323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15524301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.486328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23296323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.643589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10288 KachelY 14319 -2.15524301 1.23296323 -123.486328 70.643589
    Oben rechts KachelX + 1 10289 KachelY 14319 -2.15514713 1.23296323 -123.480835 70.643589
    Unten links KachelX 10288 KachelY + 1 14320 -2.15524301 1.23293145 -123.486328 70.641769
    Unten rechts KachelX + 1 10289 KachelY + 1 14320 -2.15514713 1.23293145 -123.480835 70.641769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23296323-1.23293145) × R
    3.17800000000368e-05 × 6371000     		dl = 202.470380000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23296323-1.23293145) × R
    3.17800000000368e-05 × 6371000     		dr = 202.470380000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15524301--2.15514713) × cos(1.23296323) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.331443452694222 × 6371000     		do = 202.462723614443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15524301--2.15514713) × cos(1.23293145) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.331473436165073 × 6371000     		du = 202.481039061987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23296323)-sin(1.23293145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331443452694222-0.331473436165073)×R²
    abs(-2.15514713--2.15524301)×2.99834708503699e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.99834708503699e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.99834708503699e-05×40589641000000     		ar = 40994.558757399m²