Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102879 / 99763
↖ ↑ ↗
← S 68.059968°
E102.565613°		 ← 114.12 m → S 68.059968°
E102.568359°		 →
↑
114.10 m
↓
↑
114.10 m
↓
S 68.060994°
E102.565613°		 ← 114.11 m →
13 021 m²		 S 68.060994°
E102.568359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784908294677734 y=0.761135101318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784908294677734 × 217)
    floor (0.784908294677734 × 131072)
    floor (102879.5)     		tx = 102879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761135101318359 × 217)
    floor (0.761135101318359 × 131072)
    floor (99763.5)     		ty = 99763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102879 / 99763 ti = "17/102879/99763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102879/99763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102879 ÷ 217
    102879 ÷ 131072     		x = 0.784904479980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99763 ÷ 217
    99763 ÷ 131072     		y = 0.761131286621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784904479980469 × 2 - 1) × π
    0.569808959960938 × 3.1415926535     		Λ = 1.79010764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761131286621094 × 2 - 1) × π
    -0.522262573242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.64073626329566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79010764} λ = 1.79010764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64073626329566))-π/2
    2×atan(0.193837274469465)-π/2
    2×0.191462900716864-π/2
    0.382925801433728-1.57079632675     		φ = -1.18787053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79010764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.565613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18787053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.059968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102879 KachelY 99763 1.79010764 -1.18787053 102.565613 -68.059968
    Oben rechts KachelX + 1 102880 KachelY 99763 1.79015558 -1.18787053 102.568359 -68.059968
    Unten links KachelX 102879 KachelY + 1 99764 1.79010764 -1.18788844 102.565613 -68.060994
    Unten rechts KachelX + 1 102880 KachelY + 1 99764 1.79015558 -1.18788844 102.568359 -68.060994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18787053--1.18788844) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dl = 114.104609999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18787053--1.18788844) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dr = 114.104609999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79010764-1.79015558) × cos(-1.18787053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373635961959102 × 6371000     		do = 114.118040171896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79010764-1.79015558) × cos(-1.18788844) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373619349023327 × 6371000     		du = 114.112966153693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18787053)-sin(-1.18788844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373635961959102-0.373619349023327)×R²
    abs(1.79015558-1.79010764)×1.66129357750955e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66129357750955e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66129357750955e-05×40589641000000     		ar = 13021.1049835537m²