Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102868 / 99756
↖ ↑ ↗
← S 68.052783°
E102.535401°		 ← 114.13 m → S 68.052783°
E102.538147°		 →
↑
114.17 m
↓
↑
114.17 m
↓
S 68.053810°
E102.535401°		 ← 114.12 m →
13 030 m²		 S 68.053810°
E102.538147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784824371337891 y=0.761081695556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784824371337891 × 217)
    floor (0.784824371337891 × 131072)
    floor (102868.5)     		tx = 102868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761081695556641 × 217)
    floor (0.761081695556641 × 131072)
    floor (99756.5)     		ty = 99756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102868 / 99756 ti = "17/102868/99756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102868/99756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102868 ÷ 217
    102868 ÷ 131072     		x = 0.784820556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99756 ÷ 217
    99756 ÷ 131072     		y = 0.761077880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784820556640625 × 2 - 1) × π
    0.56964111328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78958034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761077880859375 × 2 - 1) × π
    -0.52215576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64040070499832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78958034} λ = 1.78958034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64040070499832))-π/2
    2×atan(0.193902329089445)-π/2
    2×0.191525598798091-π/2
    0.383051197596182-1.57079632675     		φ = -1.18774513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78958034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.535401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18774513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.052783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102868 KachelY 99756 1.78958034 -1.18774513 102.535401 -68.052783
    Oben rechts KachelX + 1 102869 KachelY 99756 1.78962827 -1.18774513 102.538147 -68.052783
    Unten links KachelX 102868 KachelY + 1 99757 1.78958034 -1.18776305 102.535401 -68.053810
    Unten rechts KachelX + 1 102869 KachelY + 1 99757 1.78962827 -1.18776305 102.538147 -68.053810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18774513--1.18776305) × R
    1.79200000001156e-05 × 6371000     		dl = 114.168320000737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18774513--1.18776305) × R
    1.79200000001156e-05 × 6371000     		dr = 114.168320000737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78958034-1.78962827) × cos(-1.18774513) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.373752276979273 × 6371000     		do = 114.129754015054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78958034-1.78962827) × cos(-1.18776305) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.373735655607412 × 6371000     		du = 114.124678479201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18774513)-sin(-1.18776305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373752276979273-0.373735655607412)×R²
    abs(1.78962827-1.78958034)×1.66213718617025e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.66213718617025e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.66213718617025e-05×40589641000000     		ar = 13029.7125456581m²