Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102863 / 96248
↖ ↑ ↗
← S 64.158531°
E102.521667°		 ← 133.13 m → S 64.158531°
E102.524414°		 →
↑
133.09 m
↓
↑
133.09 m
↓
S 64.159728°
E102.521667°		 ← 133.12 m →
17 718 m²		 S 64.159728°
E102.524414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784786224365234 y=0.734317779541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784786224365234 × 217)
    floor (0.784786224365234 × 131072)
    floor (102863.5)     		tx = 102863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734317779541016 × 217)
    floor (0.734317779541016 × 131072)
    floor (96248.5)     		ty = 96248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102863 / 96248 ti = "17/102863/96248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102863/96248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102863 ÷ 217
    102863 ÷ 131072     		x = 0.784782409667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96248 ÷ 217
    96248 ÷ 131072     		y = 0.73431396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784782409667969 × 2 - 1) × π
    0.569564819335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.78934065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73431396484375 × 2 - 1) × π
    -0.4686279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47223806113116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78934065} λ = 1.78934065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47223806113116))-π/2
    2×atan(0.229411473304824)-π/2
    2×0.225509358356922-π/2
    0.451018716713843-1.57079632675     		φ = -1.11977761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78934065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.521667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11977761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.158531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102863 KachelY 96248 1.78934065 -1.11977761 102.521667 -64.158531
    Oben rechts KachelX + 1 102864 KachelY 96248 1.78938859 -1.11977761 102.524414 -64.158531
    Unten links KachelX 102863 KachelY + 1 96249 1.78934065 -1.11979850 102.521667 -64.159728
    Unten rechts KachelX + 1 102864 KachelY + 1 96249 1.78938859 -1.11979850 102.524414 -64.159728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11977761--1.11979850) × R
    2.08899999998291e-05 × 6371000     		dl = 133.090189998911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11977761--1.11979850) × R
    2.08899999998291e-05 × 6371000     		dr = 133.090189998911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78934065-1.78938859) × cos(-1.11977761) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435882608838556 × 6371000     		do = 133.129768357559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78934065-1.78938859) × cos(-1.11979850) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.43586380766974 × 6371000     		du = 133.124025996661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11977761)-sin(-1.11979850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435882608838556-0.43586380766974)×R²
    abs(1.78938859-1.78934065)×1.88011688166956e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88011688166956e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88011688166956e-05×40589641000000     		ar = 17717.8840399533m²