Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102863 / 96243
↖ ↑ ↗
← S 64.152544°
E102.521667°		 ← 133.16 m → S 64.152544°
E102.524414°		 →
↑
133.15 m
↓
↑
133.15 m
↓
S 64.153742°
E102.521667°		 ← 133.15 m →
17 730 m²		 S 64.153742°
E102.524414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784786224365234 y=0.734279632568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784786224365234 × 217)
    floor (0.784786224365234 × 131072)
    floor (102863.5)     		tx = 102863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734279632568359 × 217)
    floor (0.734279632568359 × 131072)
    floor (96243.5)     		ty = 96243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102863 / 96243 ti = "17/102863/96243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102863/96243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102863 ÷ 217
    102863 ÷ 131072     		x = 0.784782409667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96243 ÷ 217
    96243 ÷ 131072     		y = 0.734275817871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784782409667969 × 2 - 1) × π
    0.569564819335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.78934065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734275817871094 × 2 - 1) × π
    -0.468551635742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.47199837663306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78934065} λ = 1.78934065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47199837663306))-π/2
    2×atan(0.229466466268879)-π/2
    2×0.225561601143606-π/2
    0.451123202287213-1.57079632675     		φ = -1.11967312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78934065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.521667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11967312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.152544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102863 KachelY 96243 1.78934065 -1.11967312 102.521667 -64.152544
    Oben rechts KachelX + 1 102864 KachelY 96243 1.78938859 -1.11967312 102.524414 -64.152544
    Unten links KachelX 102863 KachelY + 1 96244 1.78934065 -1.11969402 102.521667 -64.153742
    Unten rechts KachelX + 1 102864 KachelY + 1 96244 1.78938859 -1.11969402 102.524414 -64.153742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11967312--1.11969402) × R
    2.08999999999904e-05 × 6371000     		dl = 133.153899999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11967312--1.11969402) × R
    2.08999999999904e-05 × 6371000     		dr = 133.153899999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78934065-1.78938859) × cos(-1.11967312) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.43597664782756 × 6371000     		do = 133.158490285365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78934065-1.78938859) × cos(-1.11969402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435957838610597 × 6371000     		du = 133.152745466355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11967312)-sin(-1.11969402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43597664782756-0.435957838610597)×R²
    abs(1.78938859-1.78934065)×1.88092169627341e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88092169627341e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88092169627341e-05×40589641000000     		ar = 17730.1898275816m²