Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102861 / 96567
↖ ↑ ↗
← S 64.537815°
E102.516174°		 ← 131.31 m → S 64.537815°
E102.518921°		 →
↑
131.31 m
↓
↑
131.31 m
↓
S 64.538996°
E102.516174°		 ← 131.30 m →
17 241 m²		 S 64.538996°
E102.518921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784770965576172 y=0.736751556396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784770965576172 × 217)
    floor (0.784770965576172 × 131072)
    floor (102861.5)     		tx = 102861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736751556396484 × 217)
    floor (0.736751556396484 × 131072)
    floor (96567.5)     		ty = 96567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102861 / 96567 ti = "17/102861/96567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102861/96567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102861 ÷ 217
    102861 ÷ 131072     		x = 0.784767150878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96567 ÷ 217
    96567 ÷ 131072     		y = 0.736747741699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784767150878906 × 2 - 1) × π
    0.569534301757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.78924478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736747741699219 × 2 - 1) × π
    -0.473495483398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.48752993210996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78924478} λ = 1.78924478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48752993210996))-π/2
    2×atan(0.225930029391417)-π/2
    2×0.222199481204048-π/2
    0.444398962408097-1.57079632675     		φ = -1.12639736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78924478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.516174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12639736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.537815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102861 KachelY 96567 1.78924478 -1.12639736 102.516174 -64.537815
    Oben rechts KachelX + 1 102862 KachelY 96567 1.78929272 -1.12639736 102.518921 -64.537815
    Unten links KachelX 102861 KachelY + 1 96568 1.78924478 -1.12641797 102.516174 -64.538996
    Unten rechts KachelX + 1 102862 KachelY + 1 96568 1.78929272 -1.12641797 102.518921 -64.538996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12639736--1.12641797) × R
    2.06100000001985e-05 × 6371000     		dl = 131.306310001265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12639736--1.12641797) × R
    2.06100000001985e-05 × 6371000     		dr = 131.306310001265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78924478-1.78929272) × cos(-1.12639736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.429915303602891 × 6371000     		do = 131.307199740152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78924478-1.78929272) × cos(-1.12641797) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.429896695376922 × 6371000     		du = 131.301516308965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12639736)-sin(-1.12641797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429915303602891-0.429896695376922)×R²
    abs(1.78929272-1.78924478)×1.86082259687748e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86082259687748e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86082259687748e-05×40589641000000     		ar = 17241.0907399459m²