Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102844 / 96388
↖ ↑ ↗
← S 64.325632°
E102.469482°		 ← 132.33 m → S 64.325632°
E102.472229°		 →
↑
132.33 m
↓
↑
132.33 m
↓
S 64.326822°
E102.469482°		 ← 132.32 m →
17 510 m²		 S 64.326822°
E102.472229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784641265869141 y=0.735385894775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784641265869141 × 217)
    floor (0.784641265869141 × 131072)
    floor (102844.5)     		tx = 102844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735385894775391 × 217)
    floor (0.735385894775391 × 131072)
    floor (96388.5)     		ty = 96388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102844 / 96388 ti = "17/102844/96388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102844/96388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102844 ÷ 217
    102844 ÷ 131072     		x = 0.784637451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96388 ÷ 217
    96388 ÷ 131072     		y = 0.735382080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784637451171875 × 2 - 1) × π
    0.56927490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78842985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735382080078125 × 2 - 1) × π
    -0.47076416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47894922707797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78842985} λ = 1.78842985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47894922707797))-π/2
    2×atan(0.227877009616915)-π/2
    2×0.224051128513845-π/2
    0.448102257027689-1.57079632675     		φ = -1.12269407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78842985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.469482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12269407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.325632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102844 KachelY 96388 1.78842985 -1.12269407 102.469482 -64.325632
    Oben rechts KachelX + 1 102845 KachelY 96388 1.78847779 -1.12269407 102.472229 -64.325632
    Unten links KachelX 102844 KachelY + 1 96389 1.78842985 -1.12271484 102.469482 -64.326822
    Unten rechts KachelX + 1 102845 KachelY + 1 96389 1.78847779 -1.12271484 102.472229 -64.326822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12269407--1.12271484) × R
    2.07699999998923e-05 × 6371000     		dl = 132.325669999314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12269407--1.12271484) × R
    2.07699999998923e-05 × 6371000     		dr = 132.325669999314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78842985-1.78847779) × cos(-1.12269407) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433255934518314 × 6371000     		do = 132.327514409561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78842985-1.78847779) × cos(-1.12271484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433237215027579 × 6371000     		du = 132.321796995251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12269407)-sin(-1.12271484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433255934518314-0.433237215027579)×R²
    abs(1.78847779-1.78842985)×1.87194907348975e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87194907348975e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87194907348975e-05×40589641000000     		ar = 17509.9487240211m²