Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102844 / 100084
↖ ↑ ↗
← S 68.387043°
E102.469482°		 ← 112.50 m → S 68.387043°
E102.472229°		 →
↑
112.51 m
↓
↑
112.51 m
↓
S 68.388055°
E102.469482°		 ← 112.49 m →
12 657 m²		 S 68.388055°
E102.472229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.784641265869141 y=0.763584136962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.784641265869141 × 217)
    floor (0.784641265869141 × 131072)
    floor (102844.5)     		tx = 102844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763584136962891 × 217)
    floor (0.763584136962891 × 131072)
    floor (100084.5)     		ty = 100084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102844 / 100084 ti = "17/102844/100084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102844/100084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102844 ÷ 217
    102844 ÷ 131072     		x = 0.784637451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100084 ÷ 217
    100084 ÷ 131072     		y = 0.763580322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.784637451171875 × 2 - 1) × π
    0.56927490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78842985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763580322265625 × 2 - 1) × π
    -0.52716064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6561240080737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78842985} λ = 1.78842985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6561240080737))-π/2
    2×atan(0.19087738735911)-π/2
    2×0.188608627340456-π/2
    0.377217254680912-1.57079632675     		φ = -1.19357907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78842985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.469482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19357907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.387043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102844 KachelY 100084 1.78842985 -1.19357907 102.469482 -68.387043
    Oben rechts KachelX + 1 102845 KachelY 100084 1.78847779 -1.19357907 102.472229 -68.387043
    Unten links KachelX 102844 KachelY + 1 100085 1.78842985 -1.19359673 102.469482 -68.388055
    Unten rechts KachelX + 1 102845 KachelY + 1 100085 1.78847779 -1.19359673 102.472229 -68.388055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19357907--1.19359673) × R
    1.76600000001415e-05 × 6371000     		dl = 112.511860000901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19357907--1.19359673) × R
    1.76600000001415e-05 × 6371000     		dr = 112.511860000901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78842985-1.78847779) × cos(-1.19357907) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368334801403724 × 6371000     		do = 112.498929286412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78842985-1.78847779) × cos(-1.19359673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36831838296411 × 6371000     		du = 112.493914672343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19357907)-sin(-1.19359673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368334801403724-0.36831838296411)×R²
    abs(1.78847779-1.78842985)×1.64184396140299e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64184396140299e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64184396140299e-05×40589641000000     		ar = 12657.1816806953m²